尾牙的抽獎活動 - 推理遊戲

※ 引述《brains (不認識)》之銘言：
: 大家好, 我又來出題了^^
: 在公司尾牙的時候一定會有抽獎活動,
: 獎項都是1000元的紅包. 由每個人排隊上來抽, 每人限抽一張.
: 假設員工有N個人, 籤筒中有籤N張, 有3*N/4張是銘謝惠顧(假設N是4的倍數).
: 董事長說: "今晚中獎的機率是25%."
: 但是頭4位員工連續抽了4張籤都沒中獎, 此時員工抱怨聲四起...
: 董事長為了平息眾怒, 就承諾大家:
: "若連續3次都沒抽中, 第4次不論有沒有中獎都算中獎!"
: 請問 : 中獎機率從25%增加為多少?
: 補充: 那四個員工有重抽, 而且抽完都有放回籤筒.

多了這些假設的話...

假設員工無限個，然後先看前三個人
前三個人中獎機率是25%，因為他們跟本當不成第四個人


然後對第四人而言，

前連續三人抽不到的機率是75%*75%*75%=0.422
他的補集就是0.578，這個機率是甲當不成第四人的機率(不一定會中獎)

而這個機率要看他自己的中獎機率，也就是再乘以25%...
約是0.144....第四人中獎機率總共約是0.566

第五人的話...考慮第一人有中獎的情況->25%
此情況相當於第五人等於第四人，因此中獎機率是0.566

第一人沒中獎->75%
無論二三四中獎情況如何，第五人都是25%中獎率。
第五人中獎機率是換句話說，是0.25*0.566+0.75*0.25=0.329

第六、七人情況類似，忽略前一、二人，一樣是0.329

第八人..-> 第四人中獎 -> 0.566 -> 第八人中獎機率0.566
補集 0.434 -> 第八人中獎機率0.25
是0.4485

第九人..第五人中獎-> 0.329 -> 0.566
沒中-> 0.671 -> 0.25
約0.354

至此..25% 25% 25% 56.6% 33% 33% 33% 45% 35% 35% 35% 39%

可看出趨近某數。

實際上...先不看四的倍數...
前三人=0.25
0.25*0.566+0.75*0.25=A ->五到七人
A*0.566+(1-A)*0.25=B ->九到十一
B*0.566+(1-B)*0.25=C ->十三到十六
每一次從0.566的機率會慢慢增加，0.25的機率則慢慢下降

最後達到X*0.566+(1-X)*0.25=X
..X約是0.365左右

再來看四的倍數...
a=0.566
b=a*0.566+(1-a)*0.25
Y=Y*0.566+(1-Y)*0.25...跟前三人的式子完全相同，解得會趨近於0.365

所以，假設員工無限多的話，後面一些的員工中獎機率就差不多是36.5%

因為是用小數簡化來算，所以可能不是很精確，
但略大於三分之一這個比例應該是差不多的。


--