寫不完的作業 - 拼圖

我自己的想法是這樣：
同學A永遠寫不到第一題所以永遠寫不完

同學B寫完的機率是1

我們先稍微改變一下題目
假設時間 t 代表第 t 次寫題目
t=1 代表 30 分
t=2 代表 30+15 分
t=3 代表 30+15+7.5 分
t 代表 60-1/(t-1) 分

以 A_tn 代表第 n 題在時間 t 被寫到的事件

第一題在第一個時間點被寫到的機率： P(A_11) = 1/10
第一題在第二個時間點被寫到的機率： P(A_12) = 1/20
依此類推

P(A_1t) = 1/(10t)

不難發現 P(A_1t) = P(A_nt) for n = 1,...,10
而且也可以推得 P(A_nt) = P(A_1t) for n=11,...,20 for t>=2, else P(A_nt)=0
也一樣可以推得 21~30, 31~40, 到無限大題在時間t被寫到的機率

對於每一題而言 (n fixed)

sum from t = 1 to inf P(A_nt) 是一個調和級數 = +inf
因此 P(A_1t infinitely often) = 1
P(A_2t infinitely often) = 1
....
P(A_nt infinitely often) = 1 for all n > 0, n in N

所以每一題被寫到的機率是一 寫不完的機率是零

※ 引述《weselyong (Wesely翁)》之銘言：
: 本題目背景在「無限」的概念假設下
: （0.5的無限次方 ＝ 0）
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: 有一個天才學院的教授心血來潮要刁難他那兩個學生
: 出了「無限多題」的作業，標有題號1, 2, 3, .....
: 同學A在deadline的前一小時開始寫
: 他選擇寫了第10題（他們超強，寫題目是不需要花時間的）
: 30分鐘過後
: 他選擇寫第20題
: 15分鐘過後
: 他寫了第30題
: 以此類推（也就是剩餘時間過了一半之後，他就寫現在這題往後算的第10題）
: *******************************************
: 同學B也是在前一小時開始寫
: 他從1~10裡面隨機挑一題出來寫
: 30分鐘過後
: 他從1~20裡面隨機挑一提出來寫（寫過的就不會被挑到了）
: 15分鐘過後
: 他從1~30裡面再隨機挑剩下的某題目出來寫
: 以此類推
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: 請問： 這兩個同學能夠寫完作業嗎？A可以嗎？B可以嗎？
: 提示： 這其實是個好像有點名氣的 機率的paradox
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: 補充(2010/10/21 08:55)
: 此題出自
: Sheldon M. Ross. Professor. Ph.D. Stanford University 的著作，
: 提供的解答亦是參考自此，解答固然只是給大家做個參考。
: 大家可以提出不同的觀點來
: 反正這種無限怎樣的題目本身就有點抽象
: 但是我不會修改掉以機率論點算出的答案的，我可不敢冒犯大師阿xdd
: 除非可以證明他是錯的，那當然另當別論。

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