富翁的遺產 - 拼圖

我一連串看下來只看到少數幾個人提到對於富翁的財產評估這件事，
而且提到的時候也沒有真的很清楚解釋為什麼財產評估在這個問題中異常重要。
搞不懂這個問題的人，基本上就是忽略了這個環節，
而不是其他的部分。我這樣說當然立刻就否定掉了上面非常多人的意見，
不過在各位開始試圖反駁之前，先聽聽如下的解釋吧。

放心，我從頭到尾不會使用事前機率或事後機率這種術語來迷惑沒學過機率的人的，
我會從頭到尾都用白話解釋。

首先我們必須先想清楚原本的故事到底是哪裡奇怪了。
事實上維基也有寫道，
故事也可以改成只有一個人，他先拿到了一張支票，
讓他自己一個人決定要不要換。
假如他評估「他換了之後錢的期望值會變成原來的 5/4 倍」的這個想法可以成立，
那實際上他不打開信封去看支票的面額該想法也沒有差別，
因為他大可假設面額是 A 然後用同樣的理論去評估，
這麼一來在他沒有看過面額的情況下他可以無窮無盡地用同樣的想法一直換信封，
這是徹底荒謬的。總之，我這一段話想要先指出一個結論（我底下才要解釋）：
「宣稱換了信封以後拿到的錢的期望值是 5/4 倍的這個想法的確是有瑕疵的」
可是錯在哪裡？底下慢慢說明。

很清楚地，兩個人並不知道富翁的財產是多少。
這當然是廢話，因為如果知道財產是多少，
那麼拿到多的那一個人當然就不可能會說要換，
就不會發生「兩個人都認為換了對他有利」這種看似矛盾的結論。
（話說，「兩人都認為換了有利」這真的有矛盾嗎？我待會也會解釋，別急）

好，那接下來我們考慮如下的一個改過的問題。

假設有兩堆錢，一堆是 $300，一堆是 $600。
我「完全隨機地」從兩堆當中選一堆，然後把那堆錢以 1:2 的比例分成兩袋，
你再從我那兩袋裡面「完全隨機地」選一袋，
然後你打開來發現裡面裝的是 $200。
請問你要不要換？你的理由是什麼？

假設我們先不要去看「你拿到 $200」這個條件，
那整件事情有如下四種可能：
1. 我選的那一堆是 $300，你拿到較小的一袋。
2. 我選的那一堆是 $300，你拿到較大的一袋。
3. 我選的那一堆是 $600，你拿到較小的一袋。
4. 我選的那一堆是 $600，你拿到較大的一袋。
因為你跟我的兩次選取都是完全隨機的，
所以這四種可能在你打開袋子之前機率是一樣的。
那在你打開袋子之後呢？因為你發現你拿到的是 $200，
所以不可能是狀況 1. 跟 4.，只有可能是 2. 或 3.，
而且兩者機率相等。
這種時候你確實就可以依照兩個富翁兒子的理論去推斷說換袋子對你比較有利，
因為的確換了袋子之後前的期望值比你目前的錢要多。

可是如果我這個題目前三句話不動、第四句改成
「然後你打開來發現裡面裝的是 $400」，
那請問你要不要換？我相信最笨的人都會立刻說不要換，
因為很明顯你已經拿到了四種可能當中最大的那一個了。
另一個很明確的事情是，你之所以知道不應該換，
跟你事先知道「我有均等的機率會選中 $300 跟 $600」這件事有關。

好，假定各位都已經理解上面這則題目，
那我接下來再換成另外一題：

假設有四堆錢，三堆是 $300，一堆是 $600。
我「完全隨機地」從四堆當中選一堆，然後把那堆錢以 1:2 的比例分成兩袋，
你再從我那兩袋裡面「完全隨機地」選一袋，
然後你打開來發現裡面裝的是 $200。
請問你要不要換？你的理由是什麼？

如果各位會算前一題，那麼各位應該會正確算出在這一題當中、
換了以後你的錢的期望值會是 $175，反而比你現在的錢還要少，
所以你應該要做出不換袋子的結論才對。
如果各位算對了，恭喜。

那我們現在終於可以會到最原本的題目了。

假設你是富翁的其中一個兒子，你確實不清楚你老爸到底錢有多少。
在同樣的遊戲中，你選了其中一張支票，假設你打開發現上面是十億元好了。
這個時候你終於明白了：「喔！原來我老爸的資產要不是 15 億就是 30 億啊！」
你明白了這件事情當然很好，可是真正的問題在於你到底應不應該換支票？
注意，這個問題問的是「應不應該」這四個字，
講明白一點就是，我問的是「你有辦法確定你換支票會對你有利或不利嗎？」

此時，如果你還記得上面我舉的兩種問題的例子，
那你就會意識到，為了正確評估你應不應該換，
你需要知道一些跟你老爸的資產到底比較有可能是 15 億還是 30 億的情報；
如果計算一下就會發現，只要你老爸持有 30 億的可能性大於 1/3，
那麼換支票就會對你有利，反之如果小於 1/3、換支票就會對你不利，
如果等於 1/3 則換不換期望值都一樣。

注意！你老爸的資產是本來就在那邊的，而不是你選了支票之後才決定的，
所以你不能說「我有 1/2 的機率選到較大或較小的支票，
從而老爸的資產是 15 億或 30 億的可能性各為 1/2」這種蠢話！
因為你老爸的資產跟你的選取是沒有關係的！

這個時候可能有人會問：
「假如我說老爸的資產本來就在哪裡，那怎麼會有機率的問題？不是就確定了嗎？」
是的，對旁觀者來說當然是這樣，可是現在是不知情的你要評估，
所以你還是需要去衡量你老爸資產到底比較有可能是哪一種、
根據他的人生歷練和他的企業規模等等來判斷，
而那些資訊決定出來的「可能性評估」在數學上也叫做機率，
機率這個字眼不見得是只有在隨機選取一個的時候才會冒出來的。
（註：至少在貝氏機率學派的觀點之下是這樣，但我不試圖在此文中談這麼深）

那假定你對於你老爸的資產真的完全一無所知呢？
那麼很可惜地，你沒有足夠的資訊可以幫助你做出「正確的評估」，
你只能亂猜看看要不要換了。

好，接下來故事要再講得更完整一點了，你那個可惡的兄弟也登場了。
他也選了一個信封。我們假定你跟他選信封的過程是完全隨機的
（也只能這樣假定囉，否則你還能怎樣？）。

跟剛才一樣，你打開發現你是 10 億。
他打開發現他是 5 億（可是當然，你並不知道這件事）。

這個時候你掌握的情報是「老爸資產是 15 億或 30 億」。
他掌握的情報是「老爸資產是 15 億或 7.5 億」。

這個時候，假設，你老爸的資產很奇妙地、在你們打開信封之前，
屬於 7.5 億、15 億或 30 億的可能性都一樣是 1/3 的話，
那麼老實說，你跟你那兄弟都做出「換信封」的決定是完全沒有錯的！
因為你們的確都根據了你們所掌握的情報做了最有力的評估！

也就是說，假如我們來玩這樣的一個遊戲：

現在有三堆錢分別是 7.5 億，15 億跟 30 億，
我「完全隨機地」從三堆中選出一堆，按照 1:2 的比例分成兩袋，
你跟你兄弟「完全隨機地」各拿一袋。
假如你拿到的那一袋裝著 10 億（但你兄弟的不知道），
請問你要不要換？

在這個遊戲中，如果你說你要換，那你答對了。
因為如果這個遊戲多玩個幾次，那麼在所有你拿到的袋子裝著 10 億的那幾次當中，
你的確會整體來說提升獲利。

有趣的是如果我把這個遊戲的後兩行改成
「假如你兄弟拿到的那袋裝著 5 億（但你的不知道），
請問他該不該換？」
那麼答案也會是肯定的，他也應該要換，
因為長期下來在他拿到 5 億的那幾次當中他也會整體獲利沒錯。

所以的確在題目給予的條件之下，你跟他在不知道對方的錢的情況下，都會獲利！
也就是說「一個不能雙贏的決策遊戲當中有一種決策對兩人都有利」
這種事情在上述的特殊情境之下的確有可能發生，並不是真的一定矛盾。
（如果聽到我這樣講會感到困惑的話，我在下一篇文中對這件事有進一步的解釋）

可是你要記得，這種事只有在假定
「老爸資產為 7.5 億、15 億或 30 億的可能性均等」
的時候才適用，萬一機率並不均等，甚至有可能你們兩個人都做了錯誤的決策。
（衍生問題：請問你能寫出那樣的一種情境嗎？答案留給各位）

結論：
要去談「換信封的決策到底正不正確」，是需要根據總資產的機率分配來判斷的，
在完全沒有掌握任何總資產情報的情況下，
我們沒有辦法說那樣的決策在給予的情況下到底正不正確。

補充說明：
我上面這全部的解釋基本上是在把維基引用的那篇文章以文字方式說明，
如果想進一步了解這些說明背後的數學抽象描述，
以及為什麼這一串前面某些文當中列的式子有所欠缺，
建議還是去看一遍原本的那篇文章，連結在維基的條目裡面。

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錢，真的是萬能的。

——如果你不這麼覺得的話，那只是因為你的錢還不夠多而已。

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