高中數學問題-因數與倍數（二） - 拼圖

※ 引述《rehearttw (易懷)》之銘言：
: PS：我最早聽到這題，是在高二時。
: 聽說建中某老師在上排列組合的課，一開頭就問這一題。
: 我當時還沒想出來，過了一年半上成功嶺時靈機一動解決了。
: 只要用到國中的因數與倍數的概念即可解。
: 各位有空可以想想詳解吧！

最直覺的國中證明:

1.任何數字M 因數有a1,a2,a3... (a1<a2<a3...)
依據遊戲規則在a1站、a2坐、a3又站...
最後站立即有"奇數個因數"的數字

2.再證明完全平方數才有奇數個因數即可
這還是很顯然

設一個數字M有因數a，則(M/a)也是因數，(如2是8的因數，則4也是)

代表因數大多情況下都是成雙成對出現，即因數個數為偶數

只有一種情況會使因數單獨出現，即n存在一個因數a使得a=M/a (導致最後因數個數為奇數)
這種情況即代表M是完全平方數，證畢



高中證明:
第二步中，對M做質因數分解，得 M=p1^a1 * p2^a2 * .... pn^an
因數個數為 (1+a1)(1+a2)..(1+an)

因數個數為奇數 <==> 1+a1 , 1+a2, ....1+an 全為奇數
<==> a1, .....an全為偶數
設 a1=2*b1, a2=2*b2......an=2*bn

則 M = (p1^b1 * p2^b2 .... pn^bn )^2 即為完全平方數


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— 請多指教喔!!
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