關於期望值 - 推理遊戲

※ 引述《kid1206 (KID)》之銘言：
: 有一個賭博遊戲玩法如下
: 拋一枚硬幣，統計你要拋幾次才能得到正面，而你每多拋一次，你所得的錢加倍。拋一次
: 就得到正面你可以得到兩元，拋了兩次才得到正面，則你可以得到四元，三次則是八元，
: 四次有十六元。而玩一次需要100元。
: 這樣的話計算一下期望值
: 應該是無限大 (1+1+1+1+1+1+.........)
: 但是感覺去玩就會賠錢...
: 所以意思是說要夠多人去玩 然後一群人再將獎金平分才會賺嗎?
: 如果是這樣，那賺錢機率要>50%要多少人去玩?

嘗試探討一下這個問題:

每次賭博的期望值是否應該把每次玩的賭本可能損失計算進去.

(2-100)*(1/2)+(4-100)*(1/4)+(8-100)*(1/8)+(16-100)*(1/16)+...
= [2*(1/2)+4*(1/4)+8*(1/8)+16*(1/16)+...] - 100*[(1/2)+(1/4)+(1/8)+(1/16)+...]
= [1+1+1+1+...] - 100*1
看起來是無限大

但是以實際賭客來說:
單一次賭博的賠錢機率是
(1/2)+(1/4)+(1/8)+(1/16)+(1/32)+(1/64) = 63/64
在還沒有出現單次贏錢之前先不算, 賠錢部分的期望值大概可以說是
(2-100)*(1/2)+(4-100)*(1/4)+(8-100)*(1/8)+...+(64-100)*(1/64)
= (1+1+1+1+1+1) - 100*(63/64)
= 6 - 98.44
= -92.44
白話來說, 在單次賭錢是贏(1/64機率)除外, 有63/64的機率(大概是98.44%)是賠錢的
每次賠平均大概是 -92.44元

那麼期望值哪時候開始由負為正的呢? (設使資產為正時的項為Y)
(2-100)*(1/2)+(4-100)*(1/4)+(8-100)*(1/8)+...+(2^Y-100)*(1/2^Y) > 0
1*Y - 100*(1-1/2^Y) > 0
Y - 100 + 100/2^Y > 0
看來... Y至少大於100

也就是說...
當你的資產出現正值, 大概就是你賭了 2的100次方 次以上會出現的狀況.
2的100次方能多了不起? 大概是1.27*10^30 次
如果你每秒就能賭一次的話, 要花4.02*10^22 年
如果從宇宙誕生大爆炸(科學家估 1.37*10^10 年前) 就已經開始賭的話...
很抱歉, 現在你的資產有 1-(1/2^99)的機率 應該還是負的.
這個機率跟100%之間的差距幾乎用地球上任一個精密的電子顯微鏡都觀察不出來.
硬寫成百分比的話我會寫成 99.99999999999999999999999999985% (大概吧)

如果你現在起想到, 而動員地球上的70億人口不眠不休以每秒賭一次的速度幫你賭的話.
要花5.74*10^12 年
希望你或許來得及在宇宙毀滅或是太陽的能量用完之前,
使你的資產會變成正數.

至於有關於不眠不休長生不死, 以及一秒之內要拋n次硬幣這種雞毛蒜皮的技術問題.
我們就不要去計較了吧.

在真的去計算之前的空想我曾經樂觀的以為只要有足夠的資金或許有機會大賺一筆.
但是經過計算之後發現, 問題根本不在賭資夠不夠, (因為錢這種東西人是可以調整的)
也不在於我賺錢想收手的時候會不會被黑衣人架走.
而在於有沒有"永恆的時間"可以玩.
我想這賭局只適合上帝,阿拉跟佛祖還有其他所有我列不完的眾神有資格玩.

祝福你. 在本賭場能夠玩的愉快...

ps. 算完之後, 我很樂意當莊家, 玩一次只要50元就好, 便宜多了.
有人開始有興趣了嗎? ^^

(我現在比較有興趣的問題變成一注降到多少錢, 會有人開始有興趣玩?)
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