邏輯小謎題 - 推理遊戲

做一下最後的嘗試好了 XD"


持 1/2 立場的人認為：

在一顆是頭的情形下 同義於 有一顆是頭。


然後無論任何情形都會有一顆是頭，

所以 在一顆是頭的情形下 的機率為 1。


到這邊看起來都沒什麼問題。


接下來，題目說 "另一顆是頭的機率為多少？"


請問，認為 "在一顆是頭的情形下" 同義於 "有一顆是頭" 的人，

要怎麼定義 "另一顆" 呢？


如果今天丟出來是：

兩面頭　一面頭

　　　頭　　　字


很明顯，以這樣的想法，"另一顆" 是一面頭的那顆。


但如果今天丟出來是：

　　兩面頭　一面頭

　　　頭　　　頭


請問另一顆是哪顆？


如果你所謂的另一顆是兩面頭，表示你一開始選的頭是一面頭。

如果你所謂的另一顆是一面頭，表示你一開始選的頭是兩面頭。


這似乎就是持 1/2 論者所謂的 "先丟後丟" 的問題？


但因為你勢必要決定一顆跟另一顆，所以所謂的先丟後丟，根本不是問題；

或者說，根本是必然的。


題目沒有規定另一顆一定要是一面頭的那顆，

所以當一面頭那顆是頭的時候，另一顆是兩面頭的那顆也是有可能的，

不然就自己幫題目設限了，

這應該大家都同意吧？



接著，我們來點古典機率的定義：

某事件發生的機率 = 事件的情況數 / 所有的情況數。


然後由條件機率的定義：

條件下，某事件發生的機率

= (事件與條件同時發生的機率) / (條件發生的機率)

= (事件與條件同時發生的情況數 / 所有情況數) / (條件發生的情況數 / 所有情況數)

............(★)


於是我們突然發現，

我們一開始將"所有的情況"分為 "丟出來是一頭一字" 和 "丟出來是兩頭" 兩種。


丟出來是一頭一字，有兩種情況。

丟出來是兩頭，有兩種情況。

這全部的四種情況加起來，就是"所有的情況"。


而在本題中，"事件與條件同時發生" 意思就是 "丟出來是兩頭"，

所以 "(事件與條件同時發生的情況數 / 所有情況數)"

= (丟出來是兩頭 / 所有的情況) = 2/4 = 1/2。


但．是．


在條件機率分母的部分，

我們將"所有的情況"分為 "丟出來是一頭一字" 和 "丟出來是兩頭" 之後

在"丟出來是兩頭"的子集合裡，

我們的"另一顆"有考慮一面頭的那顆，也有考慮兩面頭的那顆。


然．而，我們在"丟出來是一頭一字"的子集合裡，

"另一顆"卻只有考慮一面頭的那顆。


所以這全部的"一顆、和另一顆"的情況加起來，並不是"所有的情況"。

而是"條件發生的情況"。


於是，用這種結果下去算，

在 (★) 那個地方的算式就會變成：


所求機率 =

(事件與條件同時發生的情況數 / 所有情況數) /

(條件發生的情況數 / 條件發生的情況數)


所以分子是上面算出來的 1/2，分母想當然是 1。

於是算出來的答案是 1/2。


這就是我之前一直說的 "樣本空間被自動縮減成符合條件的空間"，

翻成這裡的話，

就是：

你在算分母的"條件發生的機率的時候"，

把"符合條件的情況"錯當成"所有的情況"。


講白話一點，

在 "丟出來是一頭一字" 的那個子集合中，

"一顆是字、另一顆是頭" 這種情況雖然不符合條件，

但是它也包含在最原始的、毫不設限的母集合 － "所有的情況" 裡面。


在算 "條件發生的機率"，換句話說，

"條件發生的情況數" / "所有的情況"　　的時候，


一樣要把這個 "一顆是字、另一顆是頭" 的情況放在這個式子的分母的

"所有情況" 的集合裡面。


即使題目沒有提到它，即使它不符合條件，

但是算古典機率的時候，

所有不符合題目問的情況的東西也都包含在分母的宇集合裡面；

而條件機率的定義式正是兩個古典機率相除的值。



==

看到這裡，如果能懂的話，

就知道並不是我們對題目的理解有出入，

而是 1/2 的算法是錯誤的。


即使它看起來很直觀、很合理，但是它是錯誤的。


錯誤的地方在於，在算"條件發生的機率時"，

下意識用了新定義的樣本空間而不自覺。



如果不懂的話，我已經沒辦法了 orz

只能請堅持答案是 1/2 的人拿題目去問自己的機率教授吧，

如果他說答案是 1/2，那我認了 @ @

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