牛刀小試五問 02 - 拼圖

※ 引述《cj6u40 (阿克 \⊙▽⊙/)》之銘言：
: 　第二問　
: 　　　數學老師選定一個球面，並在其上找出整數坐標點。以下是他列出的部分例子：
: 　Ａ(3,6,14)、Ｂ(11,2,6)、Ｃ(4,13,4)。後來，他驚訝地發現，這個球面上的正整數
: 　坐標共超過一百個！該球面中心坐標為何？其上共有幾個正整數坐標點？
看來又是一題被煮爛的題目了 XD

(希望不要又是因為少放了一樣食材(讀音:少一個條件)才煮爛的 (爆))

來把我煮出來的結果貼一下吧

以下有雷



















經由一些代數運算其實大家都能找出來

圓心必然在直線 x=8t-6 y=6t-2 z=5t 上

相對應的半徑是 √(125t^2 - 380t + 341)

原來的題目所想要的答案應該是對應 t = 2 的解

圓心在 (10,10,10) 半徑為 9 (看這數字多漂亮啊(?))

那由於 9^2 = 6^2 + 6^2 + 3^2 = 7^2 + 4^2 + 4^2 = 8^2 + 4^2 + 1^2

所以從 (10,10,10) 開始 (+-6,+-6,+-3) (及其他共三種排列)
(+-7,+-4,+-4) (及其他共三種排列)
(+-8,+-4,+-1) (及其他共六種排列)

一共就能找到 (3+3+6)*8 = 96 個正整數點

再加上三軸方向的頂點 (1,10,10) (19,10,10) 等六點一共 102 點 符合條件

之前我將 t 代進一堆整數發現那個半徑值除了 t = 2 之外都沒有整數

所以原本以為應該要加上「半徑為整數」的條件

不然會有其他一堆解

像是 t = 10 的情形 圓心在 (74,58,50) 半徑為 √9041

但是 9041 = 63^2 + 56^2 + 44^2 = 66^2 + 62^2 + 29^2 = 67^2 + 66^2 + 14^2 + ...

一共可以寫成 21 種不同的三平方和 其中只有 93^2 + 14^2 + 14^2 有重覆數字

顯然的這個球面上會有超過 100 個正整數點

(連加減都不用考慮 只要考慮每個三平方和的六種排列就超過了)

所以我才推那一句好像少了這個條件

不過後來我反向思考 我要找的只要這半徑值是整數就好 t 可以是有理數

所以倒過來去解 t 的二次方程找有理數

幸運(?)的是讓這半徑值是整數的有理數 t 也不多

搜到半徑 1000 也才找到四個 t 值

t = 2 (半徑 9), t = 22/5 = 4.4 (半徑 33), t = 326/25 = 13.04 (半徑 129)

以及最後這一個驗證了有超過 100 個正整數點的

t = 1346/25 = 53.84 圓心在 (424.72, 321.04, 269.2) 半徑 585

這個球面在第一卦限裡的整數點個數有 108 個! (當然包含題目當中的這三個)

108 個點的清單如下:

{{3, 6, 14}, {4, 13, 4}, {4, 148, 637}, {4, 583, 580}, {7, 724, 196},
{11, 2, 6}, {13, 736, 292}, {16, 652, 13}, {17, 654, 14}, {18, 171, 662},
{38, 681, 18}, {41, 762, 246}, {66, 762, 131}, {122, 819, 218},
{129, 98, 722}, {129, 258, 770}, {137, 414, 770}, {145, 190, 766},
{150, 710, 609}, {160, 220, 781}, {171, 762, 558}, {174, 678, 659},
{174, 843, 186}, {196, 832, 439}, {210, 30, 729}, {242, 449, 810},
{242, 794, 561}, {242, 834, 483}, {292, 589, 772}, {294, 878, 147},
{349, 868, 76}, {350, 35, 774}, {361, 442, 838}, {378, 651, 750},
{390, 905, 266}, {398, 66, 795}, {398, 171, 834}, {398, 881, 102},
{438, 881, 438}, {458, 6, 761}, {458, 801, 602}, {493, 76, 796},
{506, 267, 846}, {508, 391, 844}, {508, 871, 88}, {514, 658, 739},
{521, 2, 750}, {521, 882, 134}, {522, 174, 827}, {522, 329, 846},
{523, 226, 838}, {544, 868, 439}, {555, 890, 230}, {563, 146, 810},
{570, 275, 834}, {577, 874, 154}, {579, 518, 798}, {585, 870, 146},
{587, 654, 722}, {614, 203, 810}, {614, 638, 723}, {614, 758, 609},
{616, 112, 781}, {616, 772, 589}, {654, 843, 138}, {657, 414, 798},
{662, 594, 729}, {679, 328, 796}, {702, 99, 734}, {705, 810, 426},
{713, 786, 62}, {726, 617, 674}, {770, 65, 666}, {770, 710, 537},
{781, 772, 160}, {782, 414, 723}, {796, 772, 301}, {808, 16, 589},
{808, 76, 637}, {818, 681, 510}, {823, 616, 580}, {823, 736, 376},
{832, 724, 151}, {843, 6, 530}, {866, 2, 483}, {871, 472, 616},
{874, 73, 550}, {874, 658, 433}, {875, 650, 446}, {878, 66, 537},
{878, 681, 354}, {899, 38, 462}, {902, 99, 14}, {942, 99, 110},
{942, 594, 281}, {947, 554, 146}, {962, 489, 110}, {966, 177, 438},
{966, 497, 134}, {969, 518, 354}, {976, 157, 376}, {976, 247, 88},
{977, 134, 222}, {986, 482, 305}, {990, 350, 417}, {990, 395, 138},
{990, 450, 347}, {1002, 414, 251}}

話說回來, 其實很容易發現 t 只有在某個範圍裡這整顆球才會全部在第一卦限

t = 2 的解也是其中之一

也就是說 只要我們加上「這整個球面全部在第一卦限」這個條件

那 t = 2 的答案就是唯一解了

不過這麼一來超過 100 個正整數點這個條件就沒用了呢....

(因為會滿足整個球都在第一卦限的 t 範圍其實很小

約為 1.68059 ≦ t ≦ 2.34721

這當中值得注意的大概只有整數的 t = 2 吧)

如果要保留超過 100 個正整數點這個條件的話

除了半徑整數外可能還要限制圓心在整數....

(當然我依然不確定這樣限制之後 t = 2 還是唯一解 XD")
































特別鳴謝扮演微波爐(?)幫助我煮題目的 Mathematica 的頁末防雷頁

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いああオレたちには見えてるモノがあるbデ きっと誰にも奪われないモノがあるはずさ
け 開口一番一虚一実跳梁跋扈形影相弔yュL羊頭狗肉東奔西走国士無双南柯之夢 歪も
ぶ 　意味がないと思えるコトがある ラPきっとでも意図はそこに必ずある んの
く 依依恋恋空前絶後疾風怒濤有無相生 ラH急転直下物情騷然愚者一得相思相愛 だが
ろ 無意味じゃない ラ6あの意図が 恋た
で 有為転変死生有命蒼天已死黄天當立 !!6五里霧中解散宣言千錯万綜則天去私 のり

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