牛刀小試五問 02 - 拼圖

※ 引述《cj6u40 (阿克 \⊙▽⊙/)》之銘言：
: ══════════════ 　牛刀小試五問 02　 ═══════════════
: 　第二問　
: 　　　數學老師選定一個球面，並在其上找出整數坐標點。以下是他列出的部分例子：
: 　Ａ(3,6,14)、Ｂ(11,2,6)、Ｃ(4,13,4)。後來，他驚訝地發現，這個球面上的正整數
: 　坐標共超過一百個！該球面中心坐標為何？其上共有幾個正整數坐標點？

下面是我解題的一些想法,還有筆記,不過有些地方沒想通,希望有高手能解答

一開始只想到類似三角形找外接圓圓心,是做三邊的中垂線
所以就先找出三邊的中垂面的方程式,來看看有沒有解?

大概就是找中點,找平面向量,代入中點得方程式

AB中點 :(A+B)/2 = (7,4,10)
向量　 : A-B = (-8,4,8)
AB中垂面:-2x+y+2z=10

BC中點 :(B+C)/2 = (15/2,15/2,5)
向量 :B-C = (7,-11,2)
BC中垂面:7x-11y+2z=-20

CA中點 :(C+A)/2 = (7/2,19/2,9)
向量 :(C-A) = (1,7,-10)
CA中垂面:x+7y-10z = -20

三個中垂面會交出一條直線,圓心會在這條直線上
再來就有點卡住了
就先試著用這三個方程式來消掉一些變數
得到以下三個方程式

-3x+4y=10
-5y+6z=10
-5x+8z=30

這三個方程式代表直線在xy,yz,zx平面上的投影
然後我就卡住了,突然發現,有個簡單解(10,10,10)可以滿足三個方程式

所以找到一個圓心(10,10,10)

代入求與三點ABC的距離
(7,4,-4) = 49+16+16=81
(1,8,4) = 1+64+16=81
(6,3,6) = 36+36+9=81

所以得到半徑為9

然後找到四組可能的整數解

(0,0,9) 3種排列*2(正負) = 6個

(4,4,7) 3種排列*2(正負)^3 = 24個
(3,6,6) 3種排列*2(正負)^3 = 24個

(1,4,8) 6種排列*2(正負)^3 = 48個


6+24+24+48 = 102 個點

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