國中數學問題-因數與倍數 - 拼圖

※ 引述《YmemY (*＊米)》之銘言：
: 高中方法:
: 假設這個數是X，共有六個正因數，所以五個正因數裡，有兩對乘起來是Ｘ
: 所以648 = X^2 * 沒被配對的那個因數
: X有六個因數，所以將Ｘ質因數分解後，X=2^a *3^b，（a+1）*（b+1）= 6
: 可能是：1*6 2*3 3*2 6*1
: 所以a和b分別可能是 (0,5) (1,2) (2,1) (5,0)
: 又648 = (2^3)*(3^4) = X^2 * 某個因數，所以a不可超過1，b不可以超過2
: 只有(a,b) = (1,2)符合
: 故X = 2^1 * 3^2 = 18
: p.s.我一直都覺得puzzle版的人比較天才說..(難得有我可以解決的QQ)

最後一句話可要小心地說
puzzle 板的人很多都是天才，很多題目都秒殺
（秒殺的解法很快，只是不要求嚴謹）
也比較理性，不像別板會一直戰個不停


我把你的方法做一點修正，也作個統整

題目：
有一個正整數，它的正因數有 6 個
其中 5 個正因數的乘積為 648
請問這個正整數為？

作法：
利用國中（或高一、高二）的兩個公式：

若正整數 n = p1^a * p2^b 的話（p1、p2 為相異質數，a、b 為正整數）
(1) n 的正因數個數為 (a+1)(b+1) 個
(2) n 的所有正因數總乘積為 n ^ {(a+1)(b+1)/2}

已知正整數 n 的正因數有 6 個，其中 5 個正因數的乘積為 648
假設第六個正因數為 k
故所有正因數的乘積為 648 k = n^3
知 n^3 = 2^3 * 3^4 * k
所以 n 的質因數只有 2 與 3

若 n = 2^a * 3^b （a、b均為正整數）
則 n 的正因數個數 6=(a+1)(b+1)
可知 (a,b) = (1,2) 或 (2,1)

如果 (a,b)=(2,1)，則 n = 2^2 * 3^1 = 12
此時 k 無正整數解，不合理

故 (a,b)=(1,2)，則 n = 2^1 * 3^2 = 18
18 的六個正因數為 1,2,3,6,9,18
其中 1*2*3*6*18 = 648 （ k = 9）

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rehearttw 許老師（Reheart-易懷），愛生公式，愛胡思亂想
自 1980 年摸魔術方塊，1981 年學基本公式，2006 年學 CFOP
許技江的第五個魔術方塊網頁 http://teach.ymhs.tyc.edu.tw/t1086/R-C.htm
縮網址：http://ppt.cc/DHXY （98/1/6換址）
益智玩具：http://teach.ymhs.tyc.edu.tw/t1086/puzzle.htm http://ppt.cc/lOY8
個人網頁：http://ppt.cc/7~wQ 請多多指教！

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