再台灣論壇看到的一個問題 - 推理遊戲

※ 引述《gameqwert (wei)》之銘言：
: x2 +ax+b
: x2 +bx+a
: 有共同的一次因式,請問為何？
: 我解出來是x+(b-a)/(a-b)
: 囧~感覺錯的很離譜阿
: 我發現上大學真的變笨了>"<~!!!

首先 我認為a b一定要有關係 如果沒有關係

這題會變成無解

例如我帶a=100 b=1

那麼變成 x^2+100x+1 和 x^2+x+100

這一定沒有共同一次因式

所以推到 a b 必須是有關係的

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既然有關係 跟據題目可找到一次因式

用展頭去尾法 來展頭 可以得到

(1) - (2) = (a-b)x + (b-a) = (a-b)(x-1)

即可推知 此一次因式是 x-1

不過也只能說 "若有一次因式 則為x-1"

而有興趣的是 當什麼時候會有這個x-1的因式呢

再用一次展頭去尾 來去尾 可以得到

(1)*a - (2)*b = (a-b)x^2 + (a-b)(a+b)x = (a-b)x(x+a+b)

根據前面得到的一次因式為 x-1

可得 x+a+b = x-1 => a+b=-1

因此 得到結論

要能在這2式找到一次因式 必須有a+b=-1

而此因式為 x-1

Q.E.D.

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