再台灣論壇看到的一個問題 - 推理遊戲

※ 引述《gameqwert (wei)》之銘言：
: x2 +ax+b
: x2 +bx+a
: 有共同的一次因式,請問為何？
: 我解出來是x+(b-a)/(a-b)
: 囧~感覺錯的很離譜阿
: 我發現上大學真的變笨了>"<~!!!

我想想~~

let f(x) = x^2 + ax + b
g(x) = x^2 + bx + a

x - α 是 f(x) 的因式 iff f(α) = 0

同理 x - β 是 g(x) 的因式 iff g(β) = 0

有共同的一次因式 => 存在 γ s.t. f(γ) = g(γ) = 0

=> f(γ) - g(γ) = 0 => γ是 f(x) - g(x) 的根

f(x) - g(x) = (a-b)x + b-a

=> case1: a-b ≠ 0

(a-b)x + (b-a) = 0 iff x = 1 => γ = 1

=> 一次因式為 x - γ = x - 1

case2: a-b ＝ 0

f(x) = g(x) = x^2 + ax + a

f(x) 的根為： α = ( -a + √( (a-4)(a) ) ) / 2

β = ( -a - √( (a-4)(a) ) ) / 2

x - α , x - β 均為 f(x) , g(x) 的根


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