骰子的問題 - 推理遊戲

這個問題似乎爭議很大 所以我也來插個花 獻醜了<(_ _)>


Q：「擲三顆骰子，已知其中一顆為4，則點數和為12的機率是？」



這邊先討論一下為什麼可以把點數為4那顆固定在桌上：

當你知道其中一顆為4點的時候，三顆骰子已經自動分成了
「點數為4的那一顆」和「另外兩顆」
因此只要計算剩下兩顆的和為6.. 喔不 和是8的機率即是答案

兩顆骰子和為8的計算就不再重複了 Ans:5/36



而樓上d大的計算算的是「已知至少有一顆為4點，則點數和為12」的機率
和題目「已知其中一顆為4」是不一樣的意思

Q： 「已知至少有一顆為4點，則點數和為12的機率是？」


這邊要算兩個東西：
1.三顆點數和為12的機率
2.至少有一顆為4的機率

因為已知至少有一顆為4 所以樣本空間只剩下至少包含一顆為4點的可能性：
216 - 125 = 91種可能性 <- 216為三顆骰子總共的樣本 125為不含4的全部樣本

而這其中總和為12點的則有
(4,2,6)及其排列 6種
(4,3,5)及其排列 6種
(4,4,4)怎麼排都是這樣 1種

因此 Ans: (6+6+1)/91 = 13/91 = 1/7


另外補充條件機率算法如下： P(B|A) = P(A∩B)/P(A)

P(B|A)意思為「在已滿足A條件下，事件滿足B條件的機率」
P(A∩B)意思為「同時滿足A和B的事件發生的機率」
P(A)不用說當然是「事件滿足A條件的機率」

整個式子的涵義為
「想知道在已滿足A條件下事件滿足B條件的機率，把同時滿足AB的機率除以A的機率即可」


在此P(A)為至少有一顆為4點的機率 P(A∩B)是既至少有一顆為4和又為12的機率
則

P(B|A) = (13/216)/(91/216) = 13/91 = 1/7


最後再來討論一個最簡單的問題

Q：「3顆骰子點數和為12且至少有一顆為4的機率？」

土法煉鋼法：
(4,2,6) => 6種
(4,3,5) => 6種
(4,4,4) => 1種

Ans： 13/216 = .... 13/216 不能約分 我笨了 囧rz

這邊為什麼要除以216呢？是因為我們並沒有「已知」其中至少一顆為4
只是單純感興趣：
「如果丟三顆骰子點數和為12且至少有一顆為4」這個結果出現的機率有多大

用上面的數學符號則是 P(A∩B) = 13/216



這樣講好像還是有點抽象 不過一時想不到比較好的例子可以講解這三個的不同~"~

算機率的時候很重要的事情是要弄清楚「什麼是已經知道的 什麼是不知道的」

...

例子這樣子舉好了：
假設你去賭場，莊家告訴你：
「我現在要丟三顆骰子，如果點數和為12且至少有一顆骰子為4，那我賠你200塊，
否則我要跟你拿20塊」

那到底賭不賭呢？

P(A∩B) = 13/216

期望值 = (13x200 - 203x20)/216 < 0
要是這樣你願意賭的話快點跟我說 我願意當莊家(茶

若莊家已經把骰子丟下去了，拿塊布把它們都蓋起來
但是很不巧你的朋友瞄到其中一顆是4並且告訴你了

那到底賭不賭呢？

P(剩下兩顆點數和為6.. 喔不 為8) = 5/36

期望值 = (5x200 - 31x20)/36 > 0

你願意當莊家的話我願意跟你賭喔0_<


這時候你發現要是沒有偷看到骰子的話玩這遊戲只有賠到賣身... 上所有東西的份
於是你跟莊家說 不如我們修改一下規則
要是「三顆骰子都沒有4點」那麼就算平手 再丟一次

那麼這時候情況就變成：
「骰子丟出去一定保證至少有一顆4點，則點數和為12的機率有多大？」
(因此已知一定至少有一顆會是4點 — 這是遊戲規則)

P(B|A) = 1/7

期望值 = (1x200 - 6x20)/7 > 0

雖然賺不兇不過不無小補啦(茶)



所以結論就是：要把機率學好，先進賭場繳學費就對啦！！(大誤)

以上獻醜了<(_ _)>

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