兩人猜數、兩人猜牌、兩人猜生日 - 拼圖

第2題：

: 二、兩人猜數（A知和，B知積，2 < = X < = 99）
: 設有兩個自然數 m，n 且 2 <= m <= 99，
：S先生知道這兩數的和，P先生知道這兩數的積。
^^^^^^^^ => s ^^^^^^^^ => p
: 他們兩人進行了如下的對話──
: S：「我知道你不知道這兩個數是什麼，但我也不知道。」

你不知道 =>

存在 2 ≦ m1 ＜ m2 ≦ 99 , 使得 m1 | p 且 m2 | p 且 m1*m2 ≠ p

1.我知道你不知道 =>

q = a*b, 存在 2 ≦ m1 ＜ m2 ≦ 99 , 使得 m1 | q 且 m2 | q 且 m1*m2 ≠ q

對所有的 a + b = s, 2 <= a <= 99

2.我不知道 => s ≧ 4

綜合1,2：

s = 5 7 9 10 11 13 15 16 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49 51 53
57 59 65 67 71 77 79 83 87 89 93 95 97 ...

: P：「現在我知道這兩個數了。」
( p原本不知道，故p不是質數 )

p = m1*n1 = m2*n2 = m3*n3 = m4*n4 ...
m1+n1 , m2+n2, m3+n3, m4+n4, ...

只有一個滿足前面的s

4 = 1*4 = 2*2 , 1+4 = 5, 2+2 = 4 O
6 = 1*6 = 2*3 , 1+6 = 7, 2+3 = 5 X
8 = 1*8 = 2*4 , 1+8 = 9, 2+4 = 6 O
9 = 1*9 = 3*3 , 1+9 = 10,3+3 = 6 O
10= 1*10= 2*5 ,1+10 = 11,2+5 = 7 X
12= 1*12= 2*6 = 3*4 ; 1+12 = 13, 2+6 = 12, 3+4 = 7 X
.
.
.

: S：「現在我也知道這兩個數了。」

s = a1 + b1 = a2+b2 = a3+b3 = ...
只有一個ai*bi滿足前面的p

5 = 1+4 = 2+3 , 1*4 = 4, 2*3 = 6 O
7 = 1+6 = 2+5 = 3+4 , 1*6 = 6 , 2*5 = 10, 3*4 = 12 X
.
.
.

至少 s = 5 , p = 4是一組解...

: 由這些條件，試解出 m，n 為何？

驗證看看：

5 = 1+4 = 2+3 => S不知道m,n是多少，而且

1*4 = 4 = 1*4 = 2*2
2*3 = 6 = 1*6 = 2*3 => 可以保證P也不知道m,n是多少

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現在P知道: S不知道且S知道P不知道

4 = 1*4 = 2*2

1+4 = 5 => 和S講的相符

2+2 = 4 = 1+3 = 2+2, 如果m=3,n=1的話，p=3，那P就知道m=3,n=1了，故不可能

=> m = 4 , n = 1

P知道了
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S知道：P知道了

5 = 1+4 = 2+3

猜p是多少：
4 = 1*4 = 2*2
2+2 = 4和我一開始說的我不知道矛盾
=> m=4, n=1

6 = 1*6 = 2*3
1+6 = 7 = 2+5 = 3+4 滿足S一開始說的條件
2+3 = 5
P 沒辦法排除 m= 6, n = 1的可能，故p ≠ 6

S知道了！！

還是一樣，不知道該怎麼證明這是唯一解~

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