寫不完的作業 - 拼圖

其實我同意任何一題被寫到的機率是1 可以代表每一題都被寫完

可是 即使如此 我還是要說 A B 都寫不完 因為並沒有任何一題被寫到的機率都是1啊

各位老大請聽我下面鬼扯一下

※ 引述《Aweather (夢幻的小風)》之銘言：
: 假設時間 t 代表第 t 次寫題目
: t=1 代表 30 分
: t=2 代表 30+15 分
: t=3 代表 30+15+7.5 分
: t 代表 60-1/(t-1) 分
: 以 A_tn 代表第 n 題在時間 t 被寫到的事件
: 第一題在第一個時間點被寫到的機率： P(A_11) = 1/10
: 第一題在第二個時間點被寫到的機率： P(A_12) = 1/20
: 依此類推
: P(A_1t) = 1/(10t)
: 不難發現 P(A_1t) = P(A_nt) for n = 1,...,10
: 而且也可以推得 P(A_nt) = P(A_1t) for n=11,...,20 for t>=2, else P(A_nt)=0
: 也一樣可以推得 21~30, 31~40, 到無限大題在時間t被寫到的機率
: 對於每一題而言 (n fixed)
: sum from t = 1 to inf P(A_nt) 是一個調和級數 = +inf
: 因此 P(A_1t infinitely often) = 1
: P(A_2t infinitely often) = 1

1~10題 被寫到的機會
= 1/10( 1 + 1/2 + 1/3 + ..... + 1/∞) = 1/10*(調和級數)
= 1/10*(∞) = ∞

因此依題意調整完重複寫到的機會後 1~10題中每一題會被寫到的機會 = 1

但.....這只是1~10題啊

第11~20題 機會是 1/10( 1/2 + 1/3 + ..... + 1/∞) = 1/10*(調和級數 - 1)
= 1/10*(∞-1) = ∞

第21~30題 機會是 1/10( 1/3 + ..... + 1/∞) = 1/10*(調和級數 - 1 - 1/2)
= 1/10*(∞-1-1/2) = ∞

第10k+1 ~ 10k+10題 機會是 1/10*(調和級數 - 1 - 1/2 - 1/3 - ..... - 1/k)
k=1,2,3,....., ∞

k = ∞ 時 1/10*(調和級數 - 1 - 1/2 - 1/3 - ..... - 1/k)
= 1/10*(調和級數 - 調和級數) = 0

因此第無限大題被寫到的機會是0
所以A 寫不完

另外 stimim與weselyong大所說的算法 亦有類似的問題
就是用1~10題推到 第10k+1 ~ 10k+10題
k=1,2,3,....., ∞

stimim與weselyong大的算法:

第一題"沒"被寫到的機率是：

p(1) = (9/10) * (18/19) * ... * (9k / (9k + 1)) * ...

每一項都小於一，有無限多項，故 p(1) = 0

等同於證明
∞
Π{ 9k / (9k+1)} = 0 左式是正確無誤 但只適用在第1~10題
k=1

但是 第11~20題 在第1次沒被寫到的機率是1 第21~30題 在第1,2次沒被寫的機率是1
p(1) = (9/10) * (18/19) * (27/28) * ... * (9k / (9k + 1))
p(11) = 1 * (18/19) * (27/28) * ... * (9k / (9k + 1))
p(21) = 1 * 1 * (27/28) * ... * (9k / (9k + 1))
:
:
∞
p(10n+1) = n個1相乘再乘上 Π{ 9k / (9k+1)} 才對喔 而非上式
k=n+1

可以看到 n = ∞ 時 P(10 ∞ +1) = 9k / (9k+1) = 1 (前面都是1啊!)

一樣的結果 第無限大題沒被寫到的機會是1

我的結論就是 第1~10題的式子 要 推到第無限多題時 式子是有很大的不一樣
要用同理.....所以.......時 應該要小心一點


鬼扯完了 請大家批評指教

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