兩人猜數、兩人猜牌、兩人猜生日 - 拼圖

由於「兩人猜數」的題目太經典，而且也衍生出其他變形。因此在這裡做個整理。

如果還有其他的題目，煩請告知，謝謝！

在本板以「兩人」為關鍵字做搜尋，可找到這些題目。

本文收錄題目有五：

一、兩人猜數（A知和，B知積，1< X,Y <50）#0_9893JD
二、兩人猜數（A知和，B知積，2 < = X < = 99）
三、兩人猜數（A知平方和，B知和）#19h2OXmK
四、兩人猜牌 #10LUy1GS
五、兩人猜生日

本文徵求前面兩題的答案。

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一、兩人猜數（A知和，B知積，1< X,Y <50）#0_9893JD

兩個1到50之間的正整數(大於1,小於50)

A知道它們的和
B知道它們的積

A說：「我不知道這兩個數是什麼。」
B說：「我知道你不知道這兩個數是什麼，而且我也不知道這兩個數是什麼。」
A說：「那我知道這兩個數是什麼了！」
B說：「我也知道這兩個數是什麼了！」

這兩個數到底是什麼？









二、兩人猜數（A知和，B知積，2 < = X < = 99）

設有兩個自然數 m，n 且 2 <= m <= 99，S先生知道這兩數的和，P先生知道這兩數的積。
他們兩人進行了如下的對話──

S：「我知道你不知道這兩個數是什麼，但我也不知道。」
P：「現在我知道這兩個數了。」
S：「現在我也知道這兩個數了。」

由這些條件，試解出 m，n 為何？












三、兩人猜數（A知平方和，B知和）#19h2OXmK

有兩個正整數，數學家甲知道此兩數的平方和，數學家乙知道此兩數的和，兩人都不知道
對方的數但卻知道對方的數所代表的意義。下面是他們的對話：

甲：「我無法確定這兩數的值。」
乙：「我無法確定這兩數的值。」
甲：「我無法確定這兩數的值。」
乙：「我無法確定這兩數的值。」
甲：「我無法確定這兩數的值。」
乙：「我無法確定這兩數的值。」
甲：「現在我知道這兩數的值了。」

試從上述對話中判定兩整數之值。








四、兩人猜牌 #10LUy1GS

Ｐ先生、Ｑ先生都具有足夠的推理能力。一天，他們正在接受推理面試。
他們皆知道桌子的抽屜裡有以下１６張牌:：

紅心：A、Q、4
黑桃：J、8、4、2、7、3
梅花：K、Q、5、4、6
方塊：A、5

白教授從16張牌中挑出一張，並把牌的點數告知Ｐ先生，再把牌的花色告知Ｑ先生。
亦即，Ｐ只知點數，Ｑ只知花色。

白教授問Ｐ先生和Ｑ先生：「你們能否推理我挑出的是什麼牌？」

P先生：「我不知道。」
Q先生：「我知道你不知道。」
P先生：「現在我知道了。」
Q先生：「我也知道了。」

請問，這張牌的花色及點數為何？

五、兩人猜生日

小明和小華都是張老師學生，張老師的生日是M月N日，二人都知道張老師的生日是下列
10組中的一天。

3 月 4 日，3 月 5 日，3 月 8 日
6 月 4 日，6 月 7 日
9 月 1 日，9 月 5 日
12月 1 日，12月 2 日，12月 8 日

張老師把M值告訴了小明，把N值告訴了小華，張老師問他們知道他的生日是哪一天嗎？

小明說：「如果我不知道的話，小華肯定也不知道。」
小華說：「本來我也不知道，但是現在我知道了。」
小明說：「哦，那我也知道了。」

請根據以上對話推斷答案。










如果你沒看過這些題目，強烈建議不要馬上看答案！








答案在下面：







一、兩人猜數（A知和，B知積，1< X,Y <50）#0_9893JD（解答 BY STIMIM）
: 兩個1到50之間的正整數(大於1,小於50)
let: 2 <= n <= m <= 49
: A知道它們的和
和為s
s = 4 ~ 98
: B知道它們的積
積為p
p = 族繁不及備載

: A說：「我不知道這兩個數是什麼。」
s ≠ 4, 5, 97, 98 => s = 6~96

: B說：「我知道你不知道這兩個數是什麼，而且我也不知道這兩個數是什麼。」

p有超過一種的因式分解 => p ≠ q1*q2*q3 其中 q1, q2是質數 q3是1或質數
且p的因式分解不包含2*2,2*3,4*1,49*49,48*49

p = 12,16,18,20, ... ,2304
: A說：「那我知道這兩個數是什麼了！」
s = m + n中，只有一種m*n符合上述條件


m*n = 12 時
{m,n} = {6,2} or {4,3}

Case1: {6,2} => m+n = 8
8 = 2+6 = 3+5 = 4+4
4*4 = 16 也符合條件，故{6,2}不可能

Case2: {4,3} => m+n = 7
7 = 2+5 = 3+4
2*5 = 10
3*4 = 12
只有 {3,4} 符合條件，{3,4}是一組解

至於其他的p，我用程式去檢查是沒有符合條件的，

但是不知道怎麼用數學證明...





二、兩人猜數（A知和，B知積，2 < = X < = 99）（解答 by stimim）

: 二、兩人猜數（A知和，B知積，2 < = X < = 99）
: 設有兩個自然數 m，n 且 2 <= m <= 99，
：S先生知道這兩數的和，P先生知道這兩數的積。
^^^^^^^^ => s ^^^^^^^^ => p
: 他們兩人進行了如下的對話──
: S：「我知道你不知道這兩個數是什麼，但我也不知道。」

你不知道 =>

存在 2 ≦ m1 ＜ m2 ≦ 99 , 使得 m1 | p 且 m2 | p 且 m1*m2 ≠ p

1.我知道你不知道 =>

q = a*b, 存在 2 ≦ m1 ＜ m2 ≦ 99 , 使得 m1 | q 且 m2 | q 且 m1*m2 ≠ q

對所有的 a + b = s, 2 <= a <= 99


2.我不知道 => s ≧ 4

綜合1,2：

s = 5 7 9 10 11 13 15 16 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49 51\
53
57 59 65 67 71 77 79 83 87 89 93 95 97 ...

: P：「現在我知道這兩個數了。」
( p原本不知道，故p不是質數 )

p = m1*n1 = m2*n2 = m3*n3 = m4*n4 ...
m1+n1 , m2+n2, m3+n3, m4+n4, ...

只有一個滿足前面的s

4 = 1*4 = 2*2 , 1+4 = 5, 2+2 = 4 O
6 = 1*6 = 2*3 , 1+6 = 7, 2+3 = 5 X
8 = 1*8 = 2*4 , 1+8 = 9, 2+4 = 6 O
9 = 1*9 = 3*3 , 1+9 = 10,3+3 = 6 O
10= 1*10= 2*5 ,1+10 = 11,2+5 = 7 X

12= 1*12= 2*6 = 3*4 ; 1+12 = 13, 2+6 = 12, 3+4 = 7 X
.
.
.

: S：「現在我也知道這兩個數了。」

s = a1 + b1 = a2+b2 = a3+b3 = ...
只有一個ai*bi滿足前面的p

5 = 1+4 = 2+3 , 1*4 = 4, 2*3 = 6 O
7 = 1+6 = 2+5 = 3+4 , 1*6 = 6 , 2*5 = 10, 3*4 = 12 X
.
.
.

至少 s = 5 , p = 4是一組解...

: 由這些條件，試解出 m，n 為何？

驗證看看：

5 = 1+4 = 2+3 => S不知道m,n是多少，而且

1*4 = 4 = 1*4 = 2*2
2*3 = 6 = 1*6 = 2*3 => 可以保證P也不知道m,n是多少

--------------
現在P知道: S不知道且S知道P不知道

4 = 1*4 = 2*2



2+2 = 4 = 1+3 = 2+2, 如果m=3,n=1的話，p=3，那P就知道m=3,n=1了，故不可能

=> m = 4 , n = 1

P知道了
--------------
S知道：P知道了

5 = 1+4 = 2+3

猜p是多少：
4 = 1*4 = 2*2
2+2 = 4和我一開始說的我不知道矛盾
=> m=4, n=1

6 = 1*6 = 2*3
1+6 = 7 = 2+5 = 3+4 滿足S一開始說的條件
2+3 = 5
P 沒辦法排除 m= 6, n = 1的可能，故p ≠ 6

S知道了！！

還是一樣，不知道該怎麼證明這是唯一解~











三、兩人猜數（A知平方和，B知和）#19h2OXmK

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四、兩人猜牌 #10LUy1GS

P先生不知道牌所以牌的的點數有重複(這大家都知道吧)
點數=A或Q或4或5

Q先生知道P不知道所以他知道的花色中的所有數字皆不只一個
花色:紅桃或方塊

P先生要知道的話紅桃和方塊點數不能有重複的
排除A,剩紅桃Q.4 方塊5

Q先生要知道的話
就只能是方塊5了(花色紅桃,則有Q.4兩種可能)









五、兩人猜生日（解答 BY WHITE）

小明說：如果我不知道的話，小強肯定也不知道

代表說 正確月份的所有日子，一定會出現在其他月份
所以就只剩下
3月4日 3月5日 3月8日
9月1日 9月5日

小強說：本來我也不知道，但是現在我知道了

代表正確的日子，不會在兩個以上的月份裡面
所以就只剩下
3月4日 3月8日
9月1日

小明說：哦，那我也知道了
代表正確月份，不會有兩個以上的日子

所以就是九月一日 即為所求











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