三數之和 - 拼圖

: x + y + z = 1
: x^2 + y^2 + z^2 = 2
: x^3 + y^3 + z^3 = 3
: 求
: x^5 + y^5 + z^5 = ？
: 延伸問題：x^n+y^n+z^n = ？
: 提示：請別強行去解x,y,z，會少許多解題樂趣！

三個未知數 三個方程式
先求出它們的關係吧
x+y+z=1
xy+yz+zx=?
xyz=?

(x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+zx)
=>1=2+2(xy+yz+zx)
=>xy+yz+zx=-(1/2)

x^3+y^3+z^3-3xyz=(x+y+z)[x^2+y^2+z^2-(xy+yz+zx)]
=>3-3xyz=1[2+(1/2)]
=>xyz=1/6

不會化簡x^5+y^5+z^5 只好拜託估狗 找到了這個
(x+y+z)^5-x^5-y^5-z^5=5(y+z)(x+y)(z+x)(x^2+y^2+z^2+xy+yz+zx)
又x+y+z=1
所以
(x+y+z)^5-x^5-y^5-z^5=5(1-x)(1-y)(1-z)(x^2+y^2+z^2+xy+yz+zx)
=5[1-(x+y+z)+(xy+yz+zx)-xyz](x^2+y^2+z^2+xy+yz+zx)
=>1-(x^5+y^5+z^5)=5[1-1-(1/2)-(1/6)][2-(1/2)]
=>x^5+y^5+z^5=6

順便算了一下x^4+y^4+z^4=25/6
可能還要多算幾項才能找到x^n+y^n+z^n的一般式吧 我放棄 O_Q

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