一個機率問題 -- 回覆 allen 大 - 推理遊戲

※ 引述《oodh (oodh)》之銘言：
: ※ 引述《allen65535 (語氣生硬，無惡意)》之銘言：
: : 三個人都考慮的結果
: : 算出來是1/3，也就是輸面大的意思
: ^^^^^^^^^^^
: (怎麼算的？)
: 1.
: 如果你所算的 1/3
: 要表達的是「以上例子，三個人每次只有一個贏」所以是 1/3
: 呃...不是這樣算哦，你這種推算法，我舉個例子
: 2004總統大選， 有 連宋 扁呂 李敖 三組侯選人(漏了的就算了，sorry)
: 因為最後 三組人只有一組當選 所以贏的機率是 1/3
: 這樣對嗎？
: 你這樣算只是「1/(可能結果 計數)」 並非「贏的機率」
: 每種 可能結果 會「發生」的機率 本身就不同，拿他們來平分1 是不對的
不，你的反駁點是錯的，因為ABC有對稱性。

連宋、扁呂、李敖三組人馬不可直算1/3，是因為他們具有各自的獨特性而不可
相互代換，然而ABC是可以代換的。如今改成BAC或CAB，並不會因此讓算的結果有差
異，因為他們具有完全相等的條件。你的反駁在什麼情況下會成立呢？那就是如果這
個A是個愛台人士，他怎麼樣都只會賭台灣，或者說他就是白癡只會賭目前人多的一
邊，如此他就具有獨特性而不可被代換。

對稱性為算機率時非常重要的一個簡化手段，只要你能肯定某些事情是對稱的，
那它們的機率就必然相同。

不過反駁點雖錯，但原題也是有可討論之處。事實上這個問題並不只是機率與期
望值的問題，當考慮下注者的思考方向時，還必須要用到賽局理論，並不是單純的機
率題。

首先先最簡化，如果每個人都只能下一注，而且他們不知道場中狀況（也就是只
能隨機賭）。那這題目就可以簡化成一般機率，我們可以順利的使用二項式定理來解
它：

C(m, n) = (m!) / (n!(m - n)!) 是在m人中有n個人投某一邊的組合數
2^m 則是所有可能性的數量
C(m, n) / 2^m = ((m!) / (n!(m - n)!)) / 2^m 就是m人中有n個人投某一邊的機率

而某一邊贏的機率便是：

(C(m, 0) + C(m, 1) + ... + C(m, (m / 2) - 1)) / 2^m 若m為偶數
（為何除完減1？因為m / 2時是平手）
(C(m, 0) + C(m, 1) + ... + C(m, (m - 1) / 2)) / 2^m 若m為奇數
（為何先減1？因為要整除）

當然，我們可以直接從對稱性看出兩邊贏的機率是相同的，不過當然也可以嚴謹
證明：

C(m, n) = (m!) / (n!(m - n)!)
= (m!) / ((m - n)!n!)
= (m!) / ((m - n)!(m - (m - n))!)
= C(m, (m - n))

舉偶數為例，奇數一樣：

(C(m, 0) + C(m, 1) + ... + C(m, (m / 2) - 1)) / 2^m
= (C(m, m), + C(m, m - 1) + ... + C(m, (m / 2) + 1)) / 2^m

正好是另一邊贏的機率。

那投某一邊期望值怎麼算呢？期望值的算法是每種可能性的機率乘以所獲的加總
，所以不能直接拿1/2來算，而是要這樣（以m為偶數舉例）：

(C(m - 1, 0) / 2^(m - 1)) * (m / 1) 你投某邊，剩下全投另邊機率 * 賺到全部
+ (C(m - 1, 1) / 2^(m - 1)) * (m / 2) + ... 有一個跟你投同邊 * 兩人平分
+ (C(m - 1, (m / 2) - 2) / 2^(m - 1)) * (m / ((m / 2) - 1))
+ (C(m - 1, (m / 2) - 1) / 2^(m - 1)) * 1 連你在內剛好一半人，各自收回籌碼
（為什麼要用m - 1？因為要算的是其中一人投某邊的期望值，也就是這人已經固定
在某一邊了，需要考慮的是剩下m - 1個人投哪邊）
（如果有平手莊家通殺的設定，就把最後一項拿掉）

以有四個人，也就是m = 4為例來算：

(1 / 8) * (4 / 1) + (3 / 8) * 1 = 7/8

這才是此命題下的單注期望值，因為小於1所以是虧的。有人會問為什麼會虧呢
，兩邊機率不是相等嗎？因為機率相等是相等，但是並不代表都是1/2，另外還有一
邊完全沒人投結果莊家通殺，以及平手的可能。而被通殺當然就虧到了。



但是算到這裡，都還是最簡化題型。我們稍為擴張一點，每個人可以下不只一注
，但還是無法看到場內下注情況呢？相信大家可以直覺知道，這跟上面沒有不同，每
一注都可以用上面的算法來單獨算，算完再加總就好了。



但是只要把可以看到下注情況這限制一放開，就不是這麼回事了，因為賽局理論
將要開始作用。這篇已經太長了，有空的話我另外再寫一篇，這篇先到此為止XD

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「你會死。」不由分說，他被狠狠罵了一頓。

午休時，我拉著他到安靜的地方。「你怎麼對著人這樣說話呢？」

「他本來就會死，難道他不會死？」他抱怨。
－－預言師

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