Rhapsody of Pi - 拼圖

※ 引述《yjd (origin of love)》之銘言：
: 2. 現在你面對著一面湖 手上有兩個容器
: 其容積分別為π(3.14159...) 及 e(2.71828...)公升
: 我現在很機車的想要一公升的水在其中一個容器裏
: 你要怎麼倒水才能得之呢?
: 條件鬆一點 容許有1%的體積誤差
: 試著想想吧! :)
估計一下

π可以近似為355/113
__ ____
e = 2.7182818284...近似為 2.718 = 299/110 (不近似為 2.71828 是因為太難算了)

又我們能找出 299*19 - 355*16 = 1

也就是 299/110的110*19=2090倍 和355/113的113*16=1808倍 差1

實際計算是 2090e - 1808π = 1.20950 20%...差太多了

換一種方式 將π和e表示成連分數 取漸近分數來逼近

(見 http://zh.wikipedia.org/wiki/%E8%BF%9E%E5%88%86%E6%95%B0 )

π = [3; 7, 15, 1, 292, 1, 1, ...]

得到漸近分數為 3, 22/7, 333/106, 355/113, 103993/33102, ...

e = [2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, ...]

得到漸近分數為 2, 3, 8/3, 11/4, 19/7, 87/32, 106/39, 193/71, 1264/465, ...

其中觀察到 22/7的7*4=28倍為88 和 87/32的32倍為87 差1

因此計算 28π - 32e = 0.97958 差2.1% 有改進了

接下來...取哪個連分數似乎都不好計算

尤其因為π的連分數在很前面一項出現了292 讓後續的分數的分子/分母都很大

然後如果計算出來的倍數又很大的話 漸進分數的誤差會擴大

就會出現上面20%的慘劇

因此轉而求助程式

--
用程式跑的結果

5e-4π = 1.02504 2.5%
9π-10e = 1.09152 9.1%
15π-17e = 0.91310 8.7%
20e-17π = 0.95856 4.2%
28π-32e = 0.97958 2.1%
42e-36π = 1.07050 7%
41π-47e = 1.04605 4.6%
57e-49π = 1.00402 0.4% -- 第一個符合要求的
60π-69e = 0.93411 6.6%
72e-62π = 0.93755 6.3%
73π-84e = 1.00059 0.059% -- π/e的係數700以內最好的

再下去要到
814e-704π = 1.00018 0.018% -- π/e係數5600以內最好的結果

下一個是
5634π-6511e = 1.0000252 0.0025% -- π/e係數27000以內最好的結果

再下去...實作大概就有麻煩了 XD

--
那麼就拿73π-84e來實作:

首先 有一個步驟可以讓水增加π-e 稱它動作(*):

將剩餘的水倒到e桶裡 把π桶填滿 用π桶的水倒滿e桶 把e桶倒掉

因為π-e大約是0.42 幾次之後e桶會快滿出來

在下一次次時就多做一次"用π桶的水倒滿e桶 再把e桶倒掉"的動作即可

稱(*)加上上面的那步叫(#)

所以 總共只要做73次的(*)或(#)即可

因為一次的(*)或(#)恰包含一次把π桶填滿 即表示+π

因此 方法是這樣的:

重覆以下步驟73次:
a. 把π桶的水倒進e桶
b. 用π桶舀滿水
c. 用π桶的水把e桶填滿
d. 把e桶倒光 //到這裡是(*)
e. 如果π桶裡剩的水比e桶容量多 重覆c.d.一次 //到這裡是(#)

這樣最後π桶裡就會剩下1.00059公升的水

--
其實要實作57e-49π也是可以

這樣上面的方法的π/e兩個桶子的角色就要對換

換成e桶舀水 π桶倒水

也就是:

重覆以下步驟57次:
a. 把e桶的水倒進π桶
b. 用e桶舀滿水
c. 用e桶的水把π桶填滿
d. 如果π桶滿了就把它倒掉

這樣最後e桶裡就會剩下1.00402公升的水

--
'You've sort of made up for it tonight,' said Harry. 'Getting the
sword. Finishing the Horcrux. Saving my life.'
'That makes me sound a lot cooler then I was,' Ron mumbled.
'Stuff like that always sounds cooler then it really was,' said
Harry. 'I've been trying to tell you that for years.'
-- Harry Potter and the Deathly Hollows, P.308

--