2017數學題又來啦! - 拼圖

※ 引述《DreamYeh (天使)》之銘言：
: 因應2017年到來～最近在狂想跟2017有關的數學問題
: 因此又想出以下兩題
: a,b皆為正整數....求a,b.....請證明都是唯一解
: 1.a^2+b^2 = 2017
: (Hint: if prime is 4n+1 ...)
: 2.a^3+b^2 = 2017
: 第二題我覺得比較困難，因此能不靠程式解出者，發2017元紅包









※ a^2 + b^2 = 2017 ≡ 1 (mod 3)

由 a^2 ≡ 0 (mod 3) when a ≡ 0 (mod 3)
≡ 1 (mod 3) when a ≡ 1,2 (mod 3)

故可假設 a = 3x+1, b = 3y 或 a = 3x+2, b = 3y


● 第一個情況下，展開整理為

9x^2+6x+9y^2 = 2016

同除 9:

x^2 + (2x/3) + y^2 = 224

得知 x 必須為 3 的倍數

x x^2 2x/3 y^2應為
------------------------------
0 0 0 224
3 9 2 213
6 36 4 184
9 81 6 137
12 144 8 72
15 225爆炸

皆不合


● 第二個情況下，展開整理為

9x^2+12x+3+9y^2 = 2016

同除 9:

x^2 + (4x+1)/3 + y^2 = 224

得知 x 必須為 3 的倍數多 2

x x^2 (4x+1)/3 y^2應為
-------------------------------
2 4 3 217
5 25 7 192
8 64 11 149
11 121 15 88
14 196 19 9 (BINGO!)
17 爆炸

代回得 44^2 + 9^2 = 2017

PS. 用 mod 8 可再得到 a 必須為奇數或除 4 餘 2
從而 x 也是，不過剩下狀況也已經不算多了





※ a^3 + b^2 = 2017 ≡ 1 (mod 8)

由 a^3 ≡ 0 (mod 8) when a ≡ 0 (mod 2)
≡ x (mod 8) when a ≡ 1 (mod 2)

b^2 ≡ 0 (mod 8) when b ≡ 0 (mod 4)
≡ 4 (mod 8) when b ≡ 2 (mod 4)
≡ 1 (mod 8) when b ≡ 1 (mod 2)



故可假設 a = 8x+1, b = 4y
或 a = 8x+5, b = 4y+2
或 a = 2x, b = 2y+1


● 前兩個的情況下，狀況少直接列舉了

a^3 y^2應為
---------------------------
1 2016
125 1892
729 1288
13^3爆炸

皆不合



● 第三個情況下，展開整理為

8x^3 + 4y^2 + 4y = 2016

同除 8:

x^3 + (y(y+1))/2 = 252

x x^3 (y(y+1))/2應為
--------------------------------
1 1 251
2 8 244
3 27 225
4 64 188
5 125 127
6 216 36
7 爆炸

(y(y+1))/2 = 1+2+3+..+y 之列表:

0, 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 91,
105, 120, 136, 153, 171, 190, 210, 231, 253



其實覺得第一題計算比較難 QQ
但第二題最後不曉得有沒有比較好的看法























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