調配奶茶 - 拼圖

※ 引述《stimim (qqaa)》之銘言：
: 今天看別人在喝飲料時想到的，算是數學應用題：
: 小明買了一瓶300ml的紅茶和一瓶300ml的全脂牛奶
: 為了要喝奶茶，他必須要把300ml的紅茶和300ml的牛奶混合成600ml的奶茶
: 但是很無奈的，小明手上並沒有多餘的杯子，因此他這麼做：
: 牛奶瓶大約還有50ml的容量，因此他先將50ml的紅茶倒到牛奶瓶中，
: 再從牛奶瓶將50ml的混合夜倒回紅茶瓶中。
: 小明深信，只要不斷的重複這個步驟，他就可以將牛奶和紅茶完全混合。
: 問題來了：
: (a)請問小明的想法對嗎？
: (b)如果(a)的答案是"對"，則小明至少要重複幾次才可以讓牛奶瓶中的
: 牛奶比例降到55%以下？
: 如果(a)的答案是"錯"，則小明至少要喝掉多少牛奶和紅茶，才可以
: 藉由上述步驟讓牛奶和紅茶完全混合(喝掉x ml的牛奶就會多出x ml
: 的空間可以混合)

參考解法：
(a)
┌ x ┐
let v = │ │ (一個向量) x是紅茶瓶中的牛奶量，y是牛奶瓶中的牛奶量
└ y ┘
┌ 5/6 0 ┐
從紅茶瓶倒 50ml 到牛奶瓶 => b = │ │v
└ 1/6 1 ┘
┌ 1 1/7 ┐
從牛奶瓶倒 50ml 回去 => v' = │ │b
└ 0 6/7 ┘
┌ 6/7 1/7 ┐
=> v' = │ │v
└ 1/7 6/7 ┘

若一開始的狀態為 v_0 ，重複 n 次操作以後的狀態為 v_n
┌ 6/7 1/7 ┐
A = │ │
└ 1/7 6/7 ┘

則有： v_n = (A^n) v_0

而 A 是可對角化的，也就是 A = PDQ

其中 Q 是 P 的反矩陣，D是一個對角矩陣，對角線上的值為A的eigenvalue

┌ 1/√2 1/√2 ┐┌ 1 0 ┐┌ 1/√2 1/√2 ┐
也就是 A = │ ││ ││ │
└ 1/√2 -1/√2 ┘└ 0 5/7 ┘└ 1/√2 -1/√2 ┘

=> A^n = P (D^n) Q
┌ 1 0 ┐
當 n 趨近無窮大 => A^n → P │ │ Q = 每一相都是 1/2 的矩陣
└ 0 0 ┘
┌ (x+y)/2 ┐
=> (A^n)v → │ │
└ (x+y)/2 ┘

=> 不論一開始的狀態為何，牛奶都會被平分到兩個容器中

故小明的推測正確。

(b) T
v_0 = [ 0 300 ]
T
v_n = 150 [ 1-(5/7)^n 1+(5/7)^n ]

=> 150(1+(5/7)^n) < 300*55%

=> (5/7)^n < 0.1

n (ln5-ln7) < -ln10

n > 6.843313779

=> 至少要倒 7 次

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應該有辦法證明：

只要每次都可以倒一部份的溶液到另外一邊，不論多麼少，

在混合次數趨近於無窮大時，兩個溶液終究會完全混合。

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