益智問題（拈之變形） - 拼圖

※ 引述《homeik (王者之路)》之銘言：
: 假設先手不能全拿，小於等於4個就不討論了~
: (1)當有5個石頭時，先手勝
: 就先拿一個，不管對方怎麼拿，都可以全部拿光
: (2)當有6個石頭時，後手勝
: 先手不能拿超過兩個，不然對手直接拿光就輸了
: 所以先手只能拿一個，變成剩下五個，還是輸
: (3)當有7個石頭時，先手勝
: 先手先拿一個，對方也只能跟著拿一個
: 這時剩下五個，先手勝
: (4)當有8個石頭時，後手勝
: 先手不能拿超過兩個，不然對手直接拿光輸掉
: 先手拿一個，變成7個石頭的case，對方變成新的先手，獲勝
: (5)當有9個石頭時，先手勝
: 拿一個石頭，然後變成8個石頭的case，原先手變成新的後手，新的後手勝
: (6)當有10個石頭時，先手勝
: 拿兩個石頭，變成8個石頭的case，這時對手不能拿超過兩個
: (7)當有11個石頭時，後手勝
: 因為這時先手要拿3個石頭才能變成8個石頭的case
: 但是若拿3個對手可以直接全部拿光，所以先手不會贏
: (8)12個石頭，先手勝
: 先拿一個石頭變成11個石頭的case
: (9)13個石頭，先手勝
: 先拿兩個石頭變成11個石頭的case
: (10)14個，先手勝
: 先手拿3個
: (11)15個石頭，後手勝
: 先手若拿4個會自爆
: (12)16個石頭，先手勝
: 先拿一個石頭，變成15個石頭的case
: ......
: 以下類推
: 所以關鍵數應該是拿完後所剩的石頭數會是後手勝的case
: 到目前為止是6,8,11,15,20也是
: 感覺很像a(n)=a(n-1)+n 可惜不是(我一開始也以為答案錯)
: 不過這邊要借一下原PO的最大可取數
: 16取1 (表示若有16個石頭，先手先拿一個可以贏)
: 17取2
: 18取3
: 19取4 以上皆為先手勝
: 20取5 這一個先手贏不了，表示這種情況後手必勝
: 21取1
: 22取2
: 23取3
: 24取4 (以上這四組最大可取數量為5)
: 25取5
: 26取6 以上至此先手必勝
: 27取7 這一個先手會自爆，後手勝
: 28取8 (以上這四組最大可取數量為6)
: 當X取Y的最小Y大於可取數量Z時，該X為關鍵數 <--好爛的描述啊
: 這邊關鍵數為27
: 28取1 找到關鍵數後要重來
: 29取2
: 30取3
: 31取4
: 32取5 以上最大可取數量7
: 33取6
: 34取7
: 35取8
: 36取9 以上最大可取數量8
: 所以這邊關鍵數為36
: 37 1
: 38 2
: 39 3
: 40 4 最大可取為9
: 41 5
: 42 6
: 43 7
: 44 8 最大可取為10
: 45 9
: 46 10
: 47 11
: 48 12 最大可取為11
: 關鍵數為48
: 以下類推~不過在下寫不出漂亮的一般式啊

我的想法跟你很類似

也是先把所有後手勝的數據寫出來


我認為這些數字應該是有一般式的 a(n)= a(n-1)+[a(n-1)/3],a(1)=4

後手勝的數值為 4 6 8 11 15 20 27 36 48 64 86.....

其實這幾個數字是有規律的

6 = 4 + [4/3] ([]為高斯符號)
8 = 6 + [6/3]
11 = 8 + [8/3]
15 = 11 + [11/3]
20 = 15 + [15/3]
27 = 20 + [20/3]
36 = 27 + [27/3]
48 = 36 + [36/3]
64 = 48 + [48/3]
86 = 64 + [64/3]

所以下一個後手勝的數字是115

115 = 86 + [86/3]

所以解答應該沒錯 第一步是先拿14顆

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