毛毛蟲爬繩子的問題 - 推理遊戲

因為今天暑修微積分，有上到級數收斂與否的問題....

且這級數又與這解法的級數一樣....所以小生獻醜了XD

※ 引述《gogowin (身世悠悠何足問)》之銘言：
: 不好意思 刪光光
: 題目：有一繩長100m，一端有蝸牛一隻以每分鐘1m速度向另一端爬行。
: 惟當蝸牛開始爬行後，每整分時繩子均勻拉長100m，試問蝸牛是
: 否能走到終點？
: 試解：
: 1.由於繩子是均勻拉長，所以蝸牛走過的路程佔繩子總長的比例
: 永遠不會減少。
: 2.第一分鐘蝸牛走了1m，佔總長的1/100。一分鐘整時繩子拉長
: 為200m，蝸牛走過的路程為1+1m，依然佔繩長的1/100。
: 3.第二分鐘蝸牛走了2+1m，佔總長的3/200。二分鐘整時繩子拉長
: 為300m，蝸牛走過的路程為2+1+1.5m，依然佔繩長的3/200。
: 4.前n分鐘蝸牛走的路線百分比總和為：
: 1 1 1 1 1 1
: ----- + ----- + ----- + ----- + ----- + ........ -----
: 100 200 300 400 500 100n
: 1
: = ----- ( 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ...... + 1/n )
: 100
: 5.蝸牛走完全程，即上式>100%，即：
: 1
: ----- ( 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ...... + 1/n ) > 1
: 100
: 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ..... + 1/n > 100
: 6.由於1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ... + 1/n 發散，必存在n使總和
: 大於100。故，蝸牛可以走到終點。

要證明Σ1/n是否為收斂或發散，可以比較∫1/X取1到∞

請拿出各位的紙筆一起做XDD....

作這一題有兩個方法可以做：一是代公式(積分檢定法)，二是用P級數定理..

代公式部份(積分檢定法)：

積分檢定法前提：f(x) 要連續、正數、遞減，且a的第n項為f(n)，這樣將f(x)積分後

就可以知道是發散(無限)還是收斂(固定)

┌∞ 1
│ --- = lnX....
┘0 X

當X為無限大時，lnX為無限大(發散)..ln是以e為底的指數..e=2.178...


P級數定理：

當級數為N的P次方之一的類型時，如果P大於 1，則此級數收斂，如果P大於等於 1則發散

此題目的P為 1....所以發散...

: > 1/2 > 1/2
: 需要200個1/2才會大於等於100
: 扣掉數列前兩項 1 , 1/2 還需要197個
: 2+4+8+16+............+2的x次方
: 在x=197時 數列總和+2即為原題蝸牛走到終點的秒數
: (近似啦)

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