毛毛蟲爬繩子的問題 - 推理遊戲

※ 引述《leads (leads)》之銘言：
: 說真的，我看不出上述推論哪裡有問題，但是我還是覺得蝸牛走不到終點，
: 以下是我的想法，請指教
: 假設原本繩長100cm，蝸牛速度 1cm/s，繩子拉長速度100cm/s，我以為就
: 算蝸牛第1秒走了1/100的距離，第二秒走了1/200的距離.....
: 蝸牛(*)還是走不完
: (為了說明方便，我把蝸牛向前爬，和繩子拉長分成兩階段說明，我有思考
: 過，結果和二者同時進行應該是一樣的)
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: l 100cm l
: 蝸牛站(?)在繩子前面，發現繩長100cm，深覺此趟路途遙遠打算慢慢走
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: l 1 l 99cm l
: 過了一秒鐘，蝸牛終於走完1/100的路程，他還來不及感到欣慰，異變突起，
: 繩子拉長啦，繩子變成200cm (1/100=2/200)
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: l 2 l 198cm l
: 於是，蝸牛發現，隨著繩子的伸長，他的努力發生了奇蹟，他走過的路程變
: 成2cm，然而美中不足的是，他似乎離終點也遠了
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: l 3 l 197cm l
: 接著，蝸牛繼續努力一步一步往前爬，終於被它走完了1/200的路程，它走到
: 了3/200的位置，然後，繩子又拉長到300cm (3/200=4.5/300)
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: l 4.5 l 295.5cm l
: 所以，蝸牛走過的3cm又變成4.5cm了
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: l 5.5 l 294.5cm l
: 相信大家都知道了，我們家鍥而不捨的蝸牛，又努力向前走了1/300的路程，只是
: 繩子又伸長了，拉到了400cm (5.5/300=7.3/400)
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: l 7.3 l 392.7cm l
: 繩子從300變成400cm
: -----*-----------------------------------
: l 8.3 l 391.7cm l
: 蝸牛向前移了1/400的路程 (8.3/400=10.4/500)
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: l 10.4 l 489.6cm l
: 繩子從400變成500cm
: 剩下以此類推
: 這就是我疑惑的地方了，一開始蝸牛距離終點100cm，隨著蝸牛的前進和繩
: 子的拉長，後來距離198cm，第三次距離295.5cm，再來是392.7cm，後來則
: 相距489.6cm，..........
: 蝸牛的速度不變，而他卻離終點越來越遠，他真的有到達終點的一天嗎?
我們來看一隻比較沒那麼可憐的蝸牛好了:

一開始的距離不像這裡是100cm 而是只有4cm

詳細計算就省略了

拉長前 拉長後 剩下路程
走過/剩下 走過/剩下 的增加量
第1秒 1/2 2/6 2
第2秒 3/5 4.5/7.5 1.5
第3秒 5.5/6.5 7.33/8.67 1.1667
第4秒 8.33/7.67 10.41/9.58 0.9167
第5秒 11.41/8.58 13.7/10.3 0.7167
第6秒 14.7/9.3 17.15/10.85 0.65
第7秒 18.15/9.85 20.74/11.26 0.4071
第8秒 21.74/10.26 24.46/11.54 0.2821
第9秒 25.46/10.54 28.29/11.71 0.171
第10秒 29.29/10.71 32.22/11.78 0.071
第11秒 33.22/10.78 36.24/11.76 -0.002 ;蝸牛看到牠的努力終於有了回報
;這一秒開始牠和終點的距離
;就會慢慢縮短
;於是牠就確定可以走完了\(^o^)/
第12秒 37.24/10.76 40.34/11.66 -0.1032
第13秒 41.34/10.66 44.52/11.48 -0.1801
以下就省略了

注意到剩下路程的增加量是不斷在減少的

以100cm的例子來說 這增加量也是98cm->97.5cm->97.2cm->96.9cm這樣在縮小

雖然縮小幅度有限但仍然在縮小 也就是終有一秒會縮小到0然後變負的

這時就可以知道蝸牛是真的可以走完的了

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這個增加量不斷減少也是可以證的

設x秒時還剩下f(x)的路程

x+2 x+2
則x+1秒時剩下的路程是[f(x)-1]*((x+2)/(x+1)) = -----f(x) - -----
x+1 x+1

f(x) x+2
增加量是 ------ - -----
x+1 x+1

/ x+2 x+2 \ x+3
x+2秒時剩下的路程是 |-----f(x) - ----- - 1|*-----
\ x+1 x+1 / x+2

x+3 (2x+3)(x+3)
= -----f(x) - -------------
x+1 (x+1)(x+2)

f(x) x^2+5x+5
增加量是 ------ - ------------
x+1 (x+1)(x+2)

這兩個增加量相比 前者第二項是-(x^2+4x+4)/(x+1)(x+2)
後者第二項是-(x^2+5x+5)/(x+1)(x+2)

也就是後者第二項比前者第二項要小 於是後者增加量必然比前者增加量小

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"LPH" is for "Let Program Heal us"....

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