毛毛蟲爬繩子的問題 - 推理遊戲

※ 引述《joejoe321321 (鴟夷子皮)》之銘言：
: 昨天特別去翻了一下書
: 上面的言論沒錯....
: 不過他要問的問題好像跟無限沒有關係
: 問題清楚點應該是這樣：
: 有一隻蝸牛在長一公尺(我查到的書寫一公里@@)的繩子上爬
: 假設繩子可以像金箔一樣拉的很長的話
: 在蝸牛以秒速一公分的速度前進
: 繩子一秒拉長一公尺的情形下
: 蝸牛走不走得到終點？
: 就上面的這個問題可以知道繩子是平均拉長
: 不是刻意從哪點變長的
: 也就是說，把蝸牛看成一個質點
: 則質點是隨繩子拉長而有移動的
: 算式可以這樣分析：
: 蝸牛第一秒走了總長的1/100，再來是1/200，再來是1/300....
: 蝸牛走了總長的幾分之幾
: 可以寫成這樣
: 1/100*(1/1+1/2+1/3+1/4+......)
: 走了多少秒就加多少次
: 只要等到括弧的數字超過100
: 蝸牛就走到了終點
: 而上面的級數是調和級數
: 有方法證明他可以超過任何一個說的出的數字
: 因此，不用等到無限秒
: 一定可以在一個確切的秒數使蝸牛走到終點
: 只是算這個數字很麻煩就是了...


說真的，我看不出上述推論哪裡有問題，但是我還是覺得蝸牛走不到終點，
以下是我的想法，請指教
假設原本繩長100cm，蝸牛速度 1cm/s，繩子拉長速度100cm/s，我以為就
算蝸牛第1秒走了1/100的距離，第二秒走了1/200的距離.....
蝸牛(*)還是走不完

(為了說明方便，我把蝸牛向前爬，和繩子拉長分成兩階段說明，我有思考
過，結果和二者同時進行應該是一樣的)


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l 100cm l

蝸牛站(?)在繩子前面，發現繩長100cm，深覺此趟路途遙遠打算慢慢走



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l 1 l 99cm l

過了一秒鐘，蝸牛終於走完1/100的路程，他還來不及感到欣慰，異變突起，
繩子拉長啦，繩子變成200cm (1/100=2/200)



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l 2 l 198cm l

於是，蝸牛發現，隨著繩子的伸長，他的努力發生了奇蹟，他走過的路程變
成2cm，然而美中不足的是，他似乎離終點也遠了



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l 3 l 197cm l

接著，蝸牛繼續努力一步一步往前爬，終於被它走完了1/200的路程，它走到
了3/200的位置，然後，繩子又拉長到300cm (3/200=4.5/300)



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l 4.5 l 295.5cm l

所以，蝸牛走過的3cm又變成4.5cm了



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l 5.5 l 294.5cm l

相信大家都知道了，我們家鍥而不捨的蝸牛，又努力向前走了1/300的路程，只是
繩子又伸長了，拉到了400cm (5.5/300=7.3/400)



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l 7.3 l 392.7cm l

繩子從300變成400cm



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l 8.3 l 391.7cm l

蝸牛向前移了1/400的路程 (8.3/400=10.4/500)




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l 10.4 l 489.6cm l

繩子從400變成500cm

剩下以此類推



這就是我疑惑的地方了，一開始蝸牛距離終點100cm，隨著蝸牛的前進和繩
子的拉長，後來距離198cm，第三次距離295.5cm，再來是392.7cm，後來則
相距489.6cm，..........

蝸牛的速度不變，而他卻離終點越來越遠，他真的有到達終點的一天嗎?






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