機率問題---三個門後的羊＆車 - 拼圖

我再重貼一次好了，這個問題看太多遍了:D

題目是這樣：
有三把鑰匙,但只有一把能開,甲挑了一把鑰匙(但沒試),乙也挑了一把去試(結果不能開)。
那麼試問，甲要不要換未選過的那把鑰匙(也就是要問哪一把成功的機率較大)?
(門後有一堆寶藏，開到就是他的)

這問題沒那麼複雜

如果乙是一個預言師，可以預言寶藏在哪裡，
而且開到寶藏就是他的，現在他竟然沒開到，所以寶藏在甲選的那一個箱子裡。
甲不應該換

如果乙的預言偶爾會失敗，
例如如果剩下兩個箱子有寶藏時，乙開到的機會有80%
(i)甲選的箱子裡有寶藏=>33%
(ii)甲選的箱子裡無寶藏且乙預言錯誤=>66%*20%=13.2%
所以甲換的話得到寶藏的機率是13.2%/(33%+13.2%)=2/7=28.57%

如果乙完全是用猜的，所以剩下兩個箱子有寶藏時，乙開到的機會有50%
(i)甲選的箱子裡有寶藏=>33%
(ii)甲選的箱子裡無寶藏且乙猜錯=>66%*50%=33%
所以甲換的話得到寶藏的機率是33%/(33%+33%)=50%

如果乙是個主持人，已經知道寶藏在哪裡，且開到寶藏要被罰錢
如果乙記性很差，有20%的機會耍白痴去開到寶藏
(i)甲選的箱子裡有寶藏=>33%
(ii)甲選的箱子裡無寶藏且乙沒有耍白痴=>66%*80%=52.8%
所以甲換的話得到寶藏的機率是52.8%/(33%+52.8%)=8/13=61.55%

如果乙記性很好，一定不會開到寶藏
(i)甲選的箱子裡有寶藏=>33%
(ii)甲選的箱子裡無寶藏=>66%*100%=66%
所以甲換的話得到寶藏的機率是66%/(33%+66%)=66.67%

乙(x%開中有寶藏的) => 甲換鑰匙得寶藏的機率
x=100 0%
x=80 28.57%
x=50 50%
x=20 61.55%
x=0 66.67%

注意並不是換鑰匙得寶藏的機率一定至少50%，
說不定乙早就偷看到寶藏被藏在哪裡也想去打開它，
他無法這麼做的原因是甲把寶藏選走了！

所以本題的答案和乙的角色和本事有關...

又若，主持人乙已知甲選中寶藏，故意多問這個問題，希望甲換掉，
下次遊戲甲沒選中寶藏時這個問題就不會出現，
（主持人直接說謝謝惠顧就結束了）
所以當乙做了「開寶藏」這個動作，就透露「其實你已經選中了」的訊息
那甲換鑰匙，對不起，也是0%
（注意很多電視節目並不是每一次主持人都會問你換不換的）

就賽局論的角度來說，
如果乙已知答案，且知道甲聽到問題後會換，那麼乙就有種策略讓甲永遠得不到寶藏
這種策略就是：
如果甲沒選中，直接讓他去開
如果甲選中了，問他要不要換 (策略X)
但如果甲預知乙會使用這種策略，那麼甲就決定永遠不換，
在乙使用本策略的情況下，甲選中還是選中，沒中就是沒中，33%

但乙預知甲預知乙會使用本策略，他可以在某些機會甲沒選中時問他要不要換，
這時甲必定以為他選中而不換，那麼他將驚訝於結果！(賽局中的「耍詐」physics)

甲會猜測：或許乙根本沒有使用策略X，好像應該要換的...
乙成功的讓甲上鉤了....（在大部份選中時換掉了）

所以如果甲預知乙預知甲預知乙會有那種心理時，
甲應該還是要堅持比較好...

這個賽局特殊之處在於甲從一開始就是33%得寶藏，
乙使用策略X後(或許偶爾耍詐一下)，只會賺不會虧，大不了甲還是33%，
(更厲害的賭徒乙會用大約20%的機會耍詐，讓你「看起來好像乙是隨機問要不要換的」
這樣再計算一下：不換的話：33%
換的話：66%*20%=13.2%
可是你會覺得：不換的話：33%
換的話：66%*50%=33%，沒差...
結果你每換一次得寶藏的機率降到只有28.57%，雖然下降不到5%，但賭徒總是靠著
1%的或然率在賺錢的，不是嗎？)

而如果這個節目的傾向是不讓人拿走寶藏的話，誰都會採取這種策略的

聰明的你，還換不換呢？^_^

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濃濃的感情甜蜜，
淡淡的感情長流，
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交織出無上的光芒

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