條件機率(終極版) - 拼圖

※ 引述《CHOIP ()》之銘言：
: 某人(國王or神仙or...)告訴你：
: 「袋子裡有兩個球，只有黑白兩色，有可能是黑的也有可能是白的。」
: 當你隨機拿了一顆之後，他倒出另外一顆，結果發現是白球。
: 某人問：「猜猜看，你拿的是什麼顏色的球？猜對就賞你榮華富貴！」
: ~~
: 猜白球的勝算高，還是都一樣呢？
: 看似很簡單，對吧 :)

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我覺得原po 把問題模糊化了

若這題 黑白球在袋中出現的機率一樣

那這題手中拿到黑球 or 白球 機率就是各 50%




假設 黑球叫B , 白球叫W

依照題意，宇集合為 { WW , WB } , 其中元素 xy 指的是 x: 國王倒出來的球
y: 手上拿的球
所以若問手上拿的球是 W 的機率為何

很明顯是 50% (只有 WW 這個可能)

相對的，手上拿到 B 的機率也是 50%

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當然有人會困惑 WB 出現的機率比 WW 高

所以會冒出 2/3 這類答案

那就 "用算的" 來證明答案是 1/2 :


( 以下算手中為 W 的機率, 假設該事件的名稱為 A )

( 假設拿取球的機率為公平狀態下 , B、W 出現在袋子的機率也為 1/2 )



袋中出現的可能為 BB 、 BW 、 WB 、 WW , 各占 1/4 機率

<1> 若袋中為 BB : 機率為 (1/4)*[ (1/2)*0 + (1/2)*0 ] = 0

<2> 若袋中為 BW : 機率為 (1/4)*[ (1/2)*0 + (1/2)*1 ] = 1/8

<3> 若袋中為 WB : 機率為 (1/4)*[ (1/2)*1 + (1/2)*0 ] = 1/8

<4> 若袋中為 WW : 機率為 (1/4)*[ (1/2)*1 + (1/2)*1 ] = 1/4


由加法原理可知 p(A) = 0 + (1/8) + (1/8) + (1/4) = (1/2)



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當然有人會說黑白球在袋中出現的機率可能不一樣

那可以自己假設 B 出現在袋中的機率為 k
W 出現在袋中的機率為 (1-k)

那最後手上拿的球，是 B 的機率就是 k
是 W 的機率就是 (1-k)

暴力解法就是 p(A) = k^2 * 0 + k(1-k)*(1/2) + (1-k)k(1/2) + (1-k)^2*1
= (1-k)

(注意 A 事件為手中拿 W的機率)

(1-k)^2
條件機率解法就是 p(A) = ________________ = (1-k)
(1-k)^2 + (1-k)k


(上述解法也可用期望值解釋)


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機率算出來的值不代表真實會發生

只代表 "最理想化" 的數據而已

即使手中拿到 W 的機率算出來是 99%

不代表每 100次的 sample , 會有99次一定都是 W , 1次為B

真實情況也有可能是 1萬次的 sample, 手上拿到都是 B XDD

只是發生的 "可能性" 太低



n(A)
總之套機率的定義: p(A) = ____ 其中 n(U): 所有事件U的個數
n(U) n(A): 事件A發生的個數
就對了

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