賭局系列 PART（Ⅶ）發功搓牌 - 拼圖

※ 引述《adrianshum (Alien)》之銘言：
: ※ 引述《CHOIP ()》之銘言：
: : 「賭神曾經說，變牌的最高境界就是變出一張黑桃三......」
: : 「我跟了師父這麼久，從來沒有讓他失望過！」
: : 賭神號．「慈善撲克王大賽」總決戰，終於展開！
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: : 海珊
: : （ A A A K □）
: : 大軍 周星星
: : （Q Q Q J □） （黑桃：2 4 5 6 □）
: : 陳小刀
: : （黑桃：K Q J 10 □）
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: : 帕索：「同花順面說話。」
: : 陳小刀：「PASS！」
: : （海珊向大軍瞄了一眼...）
: : （只見大軍把底牌牢牢藏在手心當中，不時左右閃躲，害怕被星仔的特異功能透視。）
: : 海珊：「膽小鬼！梭哈！全部就賭這一把！我們非出個生死不可！」
: : 星仔：（海珊的底牌肯定是K）「同花打不打得過Full-House啊？」
: : 陳小刀：（我的底牌是黑桃A士，照理說同花大順必勝……糟糕，大軍好像要發功了）
: : 此時，只見星仔和大軍兩個人都閉眼發功，開始在手上搓牌
: : 刀仔發覺自己手上的底牌好像變得愈來愈熱，都快握不住了......
: : 為了怕有人不懂「特異功能」，小弟在此小小介紹一下：
: : 凡是經由擁有特異功能人士發功過後的物體，都會變成原來的三倍大。
: : 舉例來說，泡麵一碗會變三碗，百元鈔票一張會變三張......
: : 所以，經過遠距離搓牌發功之後，黑桃A士就會變成一張黑桃三。
: : 但是，特異功能還有一個特異現象！
: : 就是當兩人在近處同時發功時，將會有50%機率造成異想不到的驚人後果！
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: : 刀仔：（如果星仔和大軍都不發功，我就贏定了......）
: : 海珊：「這一把說什麼都要贏！大軍，全靠你了！」
: : 大軍：（如果我發功把陳小刀的底牌變成小鱉三，那麼我們Full-House就贏定了。）
: : 星仔：（如果大軍和我同時發功，刀仔的底牌會有50%的機率變成黑桃9。[註：3x3=9]）
: : （哼！同花順不一定要黑桃A士，只要黑桃小九也要你的命！）
: : （但也可能有50%會把底牌燒毀，或是變成奇怪的卡片在眾人面前秀出來@#$%~）
: : 刀仔：（萬一大軍只是假裝發功，而星仔真的發功把底牌黑桃三變給我，那就糟了...）
: : 海珊/大軍 vs 刀仔+星仔：「該怎麼辦才好，到底要不要發功呢？？？」
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: : 假設雙方都非常聰明，都會選擇對自己最有利的策略。
: : 例如：
: : 假設大軍知道，星仔打算投銅板決定，正面發功，反面不發功的話
: : 那麼大軍會選擇發功，如此一來，將有1/2 + (1/2)*(1/2) = 3/4的機會勝利
: : 假設星仔知道，大軍已經失去了特異功能，無論如何都不會發功的話
: : 那麼星仔必定會選擇不發功，這樣就100%必勝
: : 請問，雙方的最佳應對方法各是什麼？
: : 刀仔和星仔勝出的機率又將會有多少？
: 亂猜的
: 軍
: 不發功 發功
: 不發功 星勝 軍勝
: 星
: 發功 軍勝 50% 軍勝
: 50% 星勝
: 假設大家都是隨機決定,
: 星不發功 50% 機會勝
: 發功 25% 機會勝
: 軍不發功 50% 機會勝
: 發功 75% 機會勝
: 那麼應該跟據自己勝率來決定嗎?
: 是的話，星應該以不發功 2/3, 發功 1/3 的比率隨機選一個
: 軍則是 2/5 不發功，3/5 發功
: 這樣的話... 星贏的機會是
: 2/3 * 2/5 + 1/3 * 3/5 * 1/2 ~= 36.7%
: 軍贏應該是 ~= 63.3%
: 是這樣嗎?
忘記賽局的標準解法了，自己隨便算有一樣的結果

軍
不發功 發功
不發功 1 0
星
發功 0 0.5

表裡面的數字1代表陳小刀與星仔贏得全部籌碼，
都發功的狀況下有50%會贏，故為0.5

令星仔發功機率為x，大軍發功機率為y
勝率期望值W = (1-x)(1-y) + 1/2*xy = 1 - x - y + 3/2*xy
= (1-x) + (3/2*x-1) * y

對星仔來說最保險的就是maxmin策略，
當x > 2/3時，大軍的最佳策略就是y=0 (不發功)來把星仔的勝率最小化
反之當x < 2/3時，大軍的策略是y=1 (發功)
是以星仔以2/3的機率發功時，大軍的策略對其沒有任何影響，
同時也獲得maxmin勝率 1/3

W = (1-x) when x > 2/3
= 1/3 when x = 2/3
= (1-x) + (3/2*x-1) = 1/2*x when x < 2/3

以同樣方法推算，大軍的minmax策略也是 y = 2/3
除此之外都跟adrianshum板友一樣

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