擲骰算分 - 拼圖

※ 引述《buffalobill (水牛比爾)》之銘言：
: 想到就po
: PuzzleUp風味題
: 先說這題我寫程式算的
: 紙筆的話我還不知道如何列式子……
: 【擲骰算分】
: 擲一枚公正骰子六次，並計算分數
: 分數的計算規則如下：
: 第1次擲骰：擲出的點數即為起始分數
: 第2~6次擲骰：與上一次擲骰作比較
: 若比上次擲骰點數高，則分數+1
: 若比上次擲骰點數低，則分數-1
: 若與上次擲骰點數相同，則分數加倍 (分數可小於0)
: 問：若第一次擲骰點數為2，則六次擲完分數的期望值為何？
: 以最簡分數作答
: 若只擲兩次，則期望值為 17/6

令 f(s, d, n) = "現在是 s 分，上一次的點數為 d ，還可以骰 n 次" 的期望值

f(s, 1, 1) = (7/6)*s + 5/6
f(s, 2, 1) = (7/6)*s + 3/6
f(s, 3, 1) = (7/6)*s + 1/6
f(s, 4, 1) = (7/6)*s - 1/6
f(s, 5, 1) = (7/6)*s - 3/6
f(s, 6, 1) = (7/6)*s - 5/6

觀察到 s 的係數都是 7/6 ，令常數為 b_{1,1}, b_{2,1}, ..., b_{6,1}
則 b_{1,1} = -b{6,1}, b_{2,1} = -b_{5,1}, b_{3,1} = -b_{4,1}

假設:
f(s, d, n-1) = a_{n-1} * s + b_{d,n-1}
且 b_{1,n-1} + b_{6,n-1} = b_{2,n-1} + b_{5,n-1} = b_{3,n-1} + b_{4,n-1} = 0

(在 n-1 = 1 時，假設成立)
則:
f(s, 1, n) = (1/6)*( f( 2s, 1, n-1)
+ f(s+1, 2, n-1)
+ f(s+1, 3, n-1)
+ f(s+1, 4, n-1)
+ f(s+1, 5, n-1)
+ f(s+1, 6, n-1))
= (1/6)*( a_{n-1}*2*s + b_{1,n-1}
+ a_{n-1}*(s + 1) + b_{2,n-1}
+ a_{n-1}*(s + 1) + b_{3,n-1}
+ a_{n-1}*(s + 1) + b_{4,n-1}
+ a_{n-1}*(s + 1) + b_{5,n-1}
+ a_{n-1}*(s + 1) + b_{6,n-1})
= (1/6) * ( 7*a_{n-1}*s + 5*a_{n-1} )

同理， f(s, 2, n) = (1/6) * (7*a_{n-1}*s + 3*a_{n-1})
f(s, 3, n) = (1/6) * (7*a_{n-1}*s + 1*a_{n-1})
f(s, 4, n) = (1/6) * (7*a_{n-1}*s - 1*a_{n-1})
f(s, 5, n) = (1/6) * (7*a_{n-1}*s - 3*a_{n-1})
f(s, 6, n) = (1/6) * (7*a_{n-1}*s - 5*a_{n-1})
==>
f(s, d, n) = ((7/6) * a_{n-1}) * s + b_{d,n}
b_{1,n} = b_{1,1} * a_{n-1}
b_{2,n} = b_{2,1} * a_{n-1}
b_{3,n} = b_{3,1} * a_{n-1}
b_{4,n} = b_{4,1} * a_{n-1}
b_{5,n} = b_{5,1} * a_{n-1}
b_{6,n} = b_{6,1} * a_{n-1} --> 方程組 (A)
且
b_{1,n} + b_{6,n} = b_{2,n} + b_{5,n} = b_{3,n} + b_{4,n} = 0 成立

由數學歸納法我們可以知道 方程組(A) 對所有 n >= 1 都成立。 且 a_n = (7/6)^n

題目所求 = f(2, 2, 5) = a_5 * 2 + b_{2,5}
= (7/6)^5 * 2 + (3/6) * (7/6)^4

後記 (馬後炮解釋為什麼會有漂亮的公式):
如果一開始的分數是 s ，接下來，除了骰到同點數分數加倍之外，所以有情況
都是在影響常數項。而且加倍的機率和現在的點數無關，一定是 1/6 。
如果我們把 +1, -1 改成 +0, -0 的話，g(s, d, n) = (7/6)^n * s
(我們用 "g" 來表示這個改過規則的遊戲)

而 +1 -1 的部份，可以想像我們從 +1 分或 -1 分開始玩，再玩 n-1 輪。
這部份的期望值和 s 無關，只和 d (現在的點數), n (還有幾輪) 有關

所以 f(s, d, n) = (7/6)^n * s + b_{d,n}

而 b_{d,n} 的部份，b_{d,n} 和 b_{7-d,n} 是對稱的遊戲。
把"若比上次擲骰點數高，則分數+1"和"若比上次擲骰點數低，則分數-1"交換，
相當於把點數重新指定(把骰子的 X 和 7-X 交換)
所以 b_{d,n} + b_{7-d,n} = 0 其實也不意外。

而且，因為 b_{d,n} + b_{7-d,n} == 0 ，就代表下一輪 (b_{d,n-1}) 的貢獻
會兩兩消掉，所以 b_{d,n} 只和 d 和 a_n 的值有關
(也就是這一輪有多少機率會 +1 或 -1 ，而 +1 和 -1 會如何被未來的遊戲放大)

而且不論這一輪是骰到 +1 或 -1 ，放大的係數都是一樣的，都是 a_{n-1}
==> b_{d,n} = (+1, -1 的期望值) * a_{n-1}
b_{d,n} = ((7 - 2 * d) / 6) * a_{n-1} (如果我們硬要寫成公式的話)


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