常見三門/男女開門問題正解 - 拼圖

※ [本文轉錄自 Math 看板]

作者: hectorhsu (The Hector) 看板: Math
標題: [機統] 常見三門/男女開門問題正解
時間: Wed Mar 17 19:25:54 2010

本篇不回應、不刪除
如果您覺得不服氣 那不關我的事情 我只是提供正確的東西給後人
順便騙點p幣罷了

網路太容易誤導人!
去google梭哈牌型的機率 前兩頁沒有一個是對的 這不是很可怕的事情嗎?
而你在數學板上看到一堆亂七八糟振振有詞的言論

不要以為講話大聲就有理
看看那推文和討論
數學板最令人失望的地方就是"不願意看別人的文章"+"自顧自地講"
比起來 誠心誠意在板上提問的板友們真的就很可愛

文人相輕 自古皆然

------------ 一 ---------------

男女開門問題:

已知你朋友有兩個小孩 請問下列各情況下 兩個都是女兒的機率

(1) 已知至少有一個是女兒 => 1/3

(2) 開門迎接你的是他的一個女兒 => 1/2

(3) 有一個女兒叫做 Tina => 1/2

(4) 進去發現一個女兒坐在沙發上看電視 => 1/2

簡單說

(2)(3)(4) 都是有一個女孩且那個女孩"可識別"
所以另一個就是1/2

(1) 的話 就是 P(兩個都是女兒|至少一個是女兒)

= P(兩個都是女兒 且 至少一個是女兒)
-------------------------------------------
P(至少一個是女兒)


= P(兩個都是女兒) = 1/4 = 1/3
---------------------- -------
P(至少一個是女兒) 3/4

可參考醉漢走路一書 這本書有趣 內容也大都嚴謹正確


------------- 二 ---------------

原題：
參賽者看見三扇關閉了的門，其中一扇的後面有一輛汽車，選中後面有車的那扇門就
可以贏得該汽車，而另外兩扇門後面則各藏有一隻山羊，主持人是知道哪一扇門後面有汽
車。當參賽者選定了一扇門，但未去開啟它的時候，節目主持人會開啟剩下兩扇門的其中
的一扇，露出其中一隻山羊。主持人其後會問參賽者要不要換另一扇仍然關上的門。問題
是：換另一扇參賽者贏得汽車的機率？沒特別說明的條件都是均勻隨機的。（假設設置時
汽車在每一扇門後面的機率均等，且若參賽者一開始就選到汽車，主持人打開剩下兩扇門
的機率均等。）

變形題目：
參賽者看見三扇關閉了的門，其中一扇的後面有一輛汽車，選中後面有車的那扇門就
可以贏得該汽車，而另外兩扇門後面則各藏有一隻山羊，主持人不知道哪一扇門後面有汽
車的。當參賽者選定了一扇門，但未去開啟它的時候，節目主持人會開啟剩下兩扇門的其
中一扇（因為不知道哪一扇後面有汽車，故主持人機會均等地打開兩扇門的其中一扇），
結果露出其中一隻山羊。主持人其後會問參賽者要不要換另一扇仍然關上的門。
問題是：換另一扇參賽者贏得汽車的機率？沒特別說明的條件都是隨機的。（亦即假設
設置時汽車在每一扇門後面的機率均等)

----------------

參考資料：
http://probability.ca/jeff/writing/montyfall.pdf
by Toronto大學統計教授

這位教授的paper意思是說, 假設編號門 1,2,3

令事件

A = 車在門 1 後面
B = 車在門 2 後面
C = 車在門 3 後面
D = 主持人打開門 3

且假設 : P(A) = P(B) = P(C) = 1/3

Proportional Principle 是說

P(A|D) = P(A&D)/P(D)
P(B|D) = P(B&D)/P(D)
P(C|D) = P(C&D)/P(D)

又

P(D|A) = P(A&D)/P(A)
P(D|B) = P(B&D)/P(B)
P(D|C) = P(C&D)/P(C)

所以 P(A|D) : P(B|D) : P(C|D) = P(D|A) : P(D|B) :P(D|C)

這是一條非直觀公式 但是正確且好用

-----------

原題
WLOG 當你選門1 主持人開門3

P(D|A) = 1/2 基於"主持人隨機開二羊之一"的假設
P(D|B) = 1 必須開3因為2是車
P(D|C) = 0 不可以開到車

所以 所求P(A|D) : P(B|D) : P(C|D) = 1/2 : 1 : 0
normalize之後是 1/3 : 2/3 : 0
故換了會中的機率是 2/3

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變形題目
WLOG 當你選門1 主持人開門3

P(D|A) = 1/2 因為1/2亂開 且不會是車
P(D|B) = 1/2 因為他是亂開 且3也沒車
P(D|C) = 0 不可以開到車 與"開出來是羊"

所以 所求P(A|D) : P(B|D) : P(C|D) = 1/2 : 1/2 : 0
故換了會中的機率是 1/2

若不知道主持人知不知道?
則
[1] 若主持人知道 換有利
[2] 若不知道 沒差(其實就是對賭)

以上做法為這個"大家都各自用自己的直覺寫上機率計算"的題目
給出了嚴謹的作法


我相信我們使用的文字語言已經相當完整
必須記得:若原題目中沒有明確說明如何開門及放置汽車的規則
那就可視為一個缺乏條件的命題
在嚴密定義每個機率均為均勻下可以如茲計算 無任何模糊地帶 請勿再推給文法

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如果沒有末班車，

我們就數著花瓣去旅行。


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