天平問題 002 - 拼圖

(1) 填入1~12使天平平衡

│
┌┬┬┴┬┬┐
y │ ┌┬┴┐
│ a b c
┌┬┴┬┐
┌┬┬┴┬┐│○
○○ ○○│
┌┬┴┬┐
○○ ○


1+2+3+4+5+6+7+...12=78
設a+b+c=x
78-x-y+3y=3x
78+2y=4x y從1開始 滿足x為整數之解

y=1 x=20
y=3 x=21
y=5 x=22
y=7 x=23
y=9 x=24

又看 a.b.c那個分支

2a+b=c x=a+b+c<2c=2a+b+c

因為2c>x x最小為20 所以c最小為11

2a + b = c x 符合條件 不符合之原因
1 9 11 21 @
2 7 11 20 @
3 5 11 19 x無19
4 3 11 18 x無18
5 1 11 17 x無17
1 10 12 23 @
2 8 12 22 @
3 6 12 21 x=21 y和a重複
4 4 12 20 a和b重複
5 2 12 19 x無19

所以現在有四種可能

y a b c 和
一. 3 1 9 11 24
二. 1 2 7 11 21
三. 7 1 10 12 30
四. 5 2 8 12 27
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接下來看
┌┬┬┴┬┬┐
y │ ┌┬┴┐
│ a b c
┌┬┴┬┐
┌┬┬┴┬┐│ z
○○ ○○│
┌┬┴┬┐
d e f

d.e.f這三個的可能性 d+e+f=w

可能一的情況: (54-z-w)*2=w+2z
108=3w+4z 且12+10+8=30>=w>=11=2+4+5 且w.z為整數
12 18
16 15
20 12 @1.
24 9
28 6 @2.
32 3
可能二的情況: (57-z-w)*2=w+2z
114=3w+4z 且12+10+9=31>=w>=12=3+4+5 且w.z為整數
14 18
18 15
22 12 @3.
26 9 @4.
30 6 @5.
34 3

可能三的情況: (48-z-w)*2=w+2z
96=3w+4z 且11+9+8=28>=w>=9=2+3+4 且w.z為整數
12 15
16 12
20 9 @6.
24 6 @7.
28 3 @8.
可能四的情況: (51-z-w)*2=w+2z
102=3w+4z 且11+10+9=30>=w>=8=1+3+4 且w.z為整數
10 18
14 15
18 12
22 9 @ 9.
26 6 @10.
30 3 @11.

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接下來看 d.e.f 且由上可知d+e+f之可能範圍在20~30之間

2d + e = 2f d+e+f之和 可能幾 看有無重複而淘汰
10 4 12 26 @4.@10. @10.
9 6 12 27
7 10 12 28 @2.@8. @8.@2.
6 12 12 29
10 2 11 23
9 4 11 24 @7.
8 6 11 25
7 8 11 26 @4.@10. @4.@10.
6 10 11 27
5 12 11 28 @2.@8. @2.@8.
9 2 10 21
8 4 10 22 @3.@9. @9.
7 6 10 23
6 8 10 24 @7. @7.
4 12 10 26 @4.@10. @10.
8 2 9 19
7 4 9 20 @1.@6. @1.@6.
5 8 9 22 @3.@9. @9.
4 10 9 23
3 12 9 24 @7. @7.
7 2 8 17
6 4 8 18
5 6 8 19
3 10 8 21
2 12 8 22 @3.@9. @3.@9.
6 2 7 15
5 4 7 16
4 6 7 17
3 8 7 18
2 10 7 19
1 12 7 20 @1.@6. @1.@6.
5 2 6 13
.
.
1 10 6 17
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
所以現在的可能為 y z a b c d e f 剩下的數字為
1 9 2 7 11 10 4 12 3.5.6.8
7 6 1 10 12 9 4 11 2.3.5.8
1 12 2 7 11 8 4 10 3.5.6.9
1 9 2 7 11 4 12 10 3.5.6.8
1 12 2 7 11 5 8 9 3.4.6.10



┌┬┬┴┬┬┐
y │ ┌┬┴┐
│ a b c
┌┬┴┬┐
┌┬┬┴┬┐│ z
g h i j│
┌┬┴┬┐
d e f

g.h.i.j要滿足 3g + 2h = i + 2j ij那邊力臂短 從數目大開始湊

3.5.6.8 6 8
3 6 5 8
3 8
8 6
5 6

2.3.5.8 5 8
5 2 3 8
2 8
8 5

3.5.6.9 6 9
5 9
3 9
5 3 9 6
5 6
3.4.6.10 6 10
6 3 4 10
3 10
10 6


所以答案有好幾個= =

1. │
┌┬┬┴┬┬┐
1 │ ┌┬┴┐
│ 2 7 11
┌┬┴┬┐
┌┬┬┴┬┐│9
3 6 5 8 │
┌┬┴┬┐
4 12 10




2. │
┌┬┬┴┬┬┐
1 │ ┌┬┴┐
│ 2 7 11
┌┬┴┬┐
┌┬┬┴┬┐│9
3 6 5 8 │
┌┬┴┬┐
10 4 12


3. │
┌┬┬┴┬┬┐
7 │ ┌┬┴┐
│ 1 10 12
┌┬┴┬┐
┌┬┬┴┬┐│6
5 2 3 8│
┌┬┴┬┐
9 4 11

4. │
┌┬┬┴┬┬┐
1 │ ┌┬┴┐
│ 2 7 11
┌┬┴┬┐
┌┬┬┴┬┐│12
5 3 9 6│
┌┬┴┬┐
8 4 10

5. │
┌┬┬┴┬┬┐
1 │ ┌┬┴┐
│ 2 7 11
┌┬┴┬┐
┌┬┬┴┬┐│12
6 3 410│
┌┬┴┬┐
5 8 9

不知道有沒有錯的地方= =


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