圓圓圈圈圓圓 - 拼圖

※ 引述《jurian0101 (Hysterisis)》之銘言：
: 出自某高智商博客，猜想版上大約有定期在逛那兒的強者已經看過了，請多包涵
: 問題是：怎麼用圓鋪滿三維空間，而不重複且不遺漏
: (這裡的鋪滿相當於建構一系列圓，使得空間裡的每個點恰位於某個圓上)
: Hint
: 原解非常抽像，幸好回覆原博文的版眾補了一個類似引理的東西我總算才看懂
: 這個引理／提示本身又是一個謎題，解決後原題大概就OK了 當然要挑戰從頭想起
: 也是可以的。
以下有雷







































: <欲看請開燈> 已知球面或平面是無法用圓無遺漏無重複的填滿的，然而只要
: 在其上挖掉兩個點，剩下的部分必可以被填滿。請驗證挖掉的不必是球面的
: 對蹠點，而可以是任意兩點。 ^^^^^^^^^^^^^^^^^
: ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
我是從這個提示出發才想通....

總之先證明這個引理

我們要證的是球面挖掉任意兩點後能用一系列圓填滿

看圖:

http://w.csie.org/~b94102/math/Math41a.png

這張圖是將這個球面沿著過這兩點的大圓切開的圖

虛線是連接左右兩段弧同比例的地方 圖中只有畫出幾條示意

對每條虛線有一個平面過這條虛線 且和這張圖的切面垂直

這個平面和球就交於一個圓 這些圓就是我們要的

顯然整個球面上的點除了挖掉的這兩點外其他都必然在這些圓其中之一上 因此引理得證

回到原題

我們在空間中畫出無限多個圓

這些圓的圓心在 x 軸上 其 x 座標具有型式 偶數+1/2

半徑為 1/2 所在平面為 xy 平面

這樣一來 任意一個以原點為圓心 半徑非 0 的球都和這無限多個圓全部恰交於兩點

如下圖 圖中實線是我們先做出的圓

虛線則代表以原點為圓心 半徑非 0 的球 同樣只畫一些為代表

http://w.csie.org/~b94102/math/Math41b.png

對半徑非整數的球來說 這球恰和我們做的其中一個圓相交 交於兩點

對半徑為整數的球來說 這球恰和我們做的其中兩個圓相切 共兩個切點

這樣一來 所有這些球除去和我們做的圓的兩個交點 套引理能夠以一系列圓填滿

剩餘的部份正好是我們原先所畫的無限多個圓

因此原題得證

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補一個名詞解釋當做頁末防雷

對蹠點(antipodes; antipodal points) 意思是球上處於相對的兩點

例如以地球來說 北極和南極互為對蹠點

東經121度北緯25度和西經59度南緯25度互為對蹠點

(這兩點前者在桃園外海 後者在阿根廷境內(巧合地)叫福爾摩沙市的地方)

經度0度北緯51度和經度180度南緯51度互為對蹠點等等

(這兩點前者是格林威治

後者則接近紐西蘭一個叫 Antipodes Islands 的島

這島正得名於它在格林威治的對蹠點附近)

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'You've sort of made up for it tonight,' said Harry. 'Getting the
sword. Finishing the Horcrux. Saving my life.'
'That makes me sound a lot cooler then I was,' Ron mumbled.
'Stuff like that always sounds cooler then it really was,' said
Harry. 'I've been trying to tell you that for years.'
-- Harry Potter and the Deathly Hollows, P.308

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