公投的問題 - 拼圖

假設 贊成方a人 反對方b人 投贊成票人數a 投反對票人數b0

那麼先來探討一下投反對票的人數對結果的影響

(1)當 b0 >= a

由於贊成方票數未超過反對方票數 故結果為不通過

(2)當 (a+b0) <= (a+b)/2 (假設總人數為偶數)

整理一下 b0 <= (b-a)/2

由於總票數未超過一半 故結果為不通過

(3)當 (b-a)/2 < b0 < a

總票數超過一半 贊成又比反對多 故結果為通過


那麼退一步想

假設現在除了你以外全部的人都已經投票了

那麼來看看你這一票要不要去投 會有什麼影響

假設 目前投反對票人數b1

那麼

(4)當 b1 = a-1

你去投了 b0 = b1+1 = a 符合狀況1 結果為不通過

你不去投 b0 = b1 = a-1 符合狀況3 結果為通過

(5)當 b1= (b-a)/2

你去投了 b0 = b1+1 = (b-a+2)/2 符合狀況3 結果為通過

你不去投 b0 = b1 = (b-a)/2 符合狀況2 結果為不通過

其餘情況 不管你去不去投 不通過的還是不通過 通過的還是通過

因此接下來要比較(4)(5)這兩種情況的機率哪一種比較高

假如(4)較高 去投比較有利

假如(5)較高 不投比較有利

= = = = = = 分隔線 = = = = = =

這邊比較複雜 基本上可以跳過不看

假設 反對的人有 P 的機率會去投票

那麼

狀況四的機率 P4 = P ^ b1 * (1-P) ^ (b-1-b1) * (b-1)!
----------------------------------
b1! * (b-1-b1)!

= P ^ (a-1) * (1-P) ^ (b-a) * (b-1)!
----------------------------------
(a-1)! * (b-a)!

狀況五的機率 P5 = P ^ [(b-a)/2] * (1-P) ^ [(a+b-2)/2] * (b-1)!
--------------------------------------------
[(b-a)/2]! * [(a+b-2)/2]!

假如 P4 > P5

這時候去投票會比較有利

P4 - P5 > 0

經過化簡

(a-1)! * (b-a)!
P ^ [(3a-b-2)/2] * (1-P) ^ [(b-3a+2)/2] > -------------------------
[(b-a)/2]! * [(a+b-2)/2]!

假如符合的話 投票比較有利

否的話 則不去投較有利

= = = = = = 分隔線 = = = = = =

(跳過的人請接這裡看)

假設 我們令反對人投票機率 P = 0.5

那麼畫出 b1 與 機率的關係圖

機率
↑　　　▃█▃
│ 　　███　　　　　　(好醜..)
│▁▄█████▄▁
└─────────→b1
　0 (b-a)/2 a-1 b-1

大概是這種山峰圖

其中白色和紫色的交界分別用來表示 (b-a)/2 和 a-1 的機率大小

注意到

0 ~ (b-a)/2 的距離 = (b-a)/2

a-1 ~ b-1 的距離 = (b-a)

也就是說 a-1 會比 (b-a)/2 更接近山峰

因此 狀況四 的機率較 狀況五 更高

故去投票比較有利


不過這僅在 P = 0.5 時成立

當 P < 0.5 時 山峰會往左移

因此 狀況四 的機率會不會比 狀況五來的高就很難說了

但是 P > 0.5 時 山峰往右移

我們仍然可以確定 狀況四的機率較高


結論：

假如你知道投票的情況相當不踴躍，比50%還低許多時

可以考慮不要去投

一般情形投票率應該都超過50%

所以還是去乖乖投票吧！


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...在這蒼穹的彼端...有著持有羽翼的少女

...那是自遙遠的曩昔起...直到現今此時

...她一直在不變的大氣中，展開雙翼持續地承受著來風…

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