兩題無窮 - 拼圖

※ 引述《ddtddt (得)》之銘言：
: 2.
: 根號(1+2*根號(1+3*根號(1+4根號(.... =??
: ________________________________
: / _______________________
: / / ______________
: \/ 1 + 2 \/ 1 + 3 \/ 1 + 4 ........


以下傷眼兼有雷注意

= =



理論上這樣的"實質無窮"要從"潛在無窮"來逼近，也就是寫成<A_n> n->Inf 來看
那A1=1, A2=Sqr(1 + 2), A3=Sqr(1 + 2 Sqr(1 + 3)) ...

遞增，必定
那上界呢...根本看不出來

這式子裡的"看不出的無限"實在是麻煩了


好，我先偷換成

f = Sqr(1 + x Sqr(1 + x Sqr(1 + x Sqr(1 + x Sqr(1 + ... 如何

因為 f^2 - 1 = x f , f = x/2 + Sqr(x^2 + 4)/ 2, 反過來補證明

<f_n> 遞增, check。 有上界, check 例如取 f < x+1, 當x很大。

所以f(x) 對所有實數x都收斂到一個約等於x的數

..還是無法直接用在原式，因為無窮層根號裡有個無窮 雖然直覺上這個factor

應該抵不過 ^(- 2^n) ，或是說開n次根號這個劇烈減小的作用啦


* *

那我轉而求另一個值求靈感，假裝原式裡的所有1都是0。

y = Sqr( 2 Sqr( 3 Sqr( 4 Sqr( 5 Sqr( ...

事實上應該只有前面幾個1被拿掉有比較大的影響，後面反正

[第一] 1 遠小於加號後的項
[第二] 1 位在n重根號裡面

所以這個值應該比原式 －－如果收斂的話－－ 小一點點，是不錯的估計值

Log y = Sum [Log[n] 2^(1-n), {n, 2, Infinity} ]

l.h.s 算式丟到Mathematica算得到

= -2 (PolyLog^(1,0))[0,1/2] 表示成特殊函數了

N[%] = 1.01567

Exp[%] = 2.67121

喔喔，所以可以想像原式應該比2.67大一點點而已


* *

好吧，還是沒有很好的方法可以證明其收斂性，只是我沒時間了所以直接跳

這很欠揍問題的理論上的答案

___
3 = V 9
__________
= V 1 + 2 x 4
___________
= V 1 + 2 V 16
__________________
= V 1 + 2 V 1 + 3 x 5
___________________
= V 1 + 2 V 1 + 3 V 25
__________________________
= V 1 + 2 V 1 + 3 V 1 + 4 x 6

= ...我是無限延伸的刪節號...

= 原式

3 的確比 2.76 大一點點，不管你怎想，這答案反正我是信了。

謝謝LPH66指點。




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