一個物理問題 - 推理遊戲

※ 引述《supersatan (熾天使)》之銘言：
: ※ 引述《allen65535 (語氣生硬，無惡意)》之銘言：
: : 這個問題可以用物理方法解，代數字下去算也算得出來，
: : 可是我總覺得應該可以用很簡單的推理得到答案才對。
: : 一些條件：咖啡散熱的溫度變化是遵循以自然對數e為底的指數函數
: : 奶精的溫度是室溫
: : 咖啡加奶精以簡單的熱平衡考慮

簡單來說,當我們把室溫看成零的時候,
"冷卻固定時間"對咖啡溫度的作用為乘一個常數k,
而"與室溫的奶精熱平衡"的作用為乘一個常數c

這兩個操作可以交換,所以先加後加是一樣的
下面有比較詳細的說明

: 這可以用牛頓冷卻定律解釋
: dD
: ─ = -αD (D(t)是t時刻時的溫差，α是比例常數，負號是因為溫差是遞減關係)
: dt
: 得D(t) = c e^(-αt)
: 給定初始值Do ，得D(t)=Do e^(-αt), t≧0
: 令T(t)為物體在t時刻的溫度，Ts為室溫，則:
: D(t) = T(t) - Ts , Do = To - Ts , T(t) = Ts + (To-Ts) e^(-αt)

算到這裡就可以了,若冷卻的時間固定為T,那 e^(-αT) 就是常數,令其為k,
則有 T' = Ts + (To-Ts)*k

再來,熱平衡時的溫度變化為

T' = (M*s1*To + m*s2*Ts)/(M*s1+m*s2)
= Ts + (To-Ts)* M*s1/(M*s1+m*s2) = Ts + (To-Ts)*c

設 u(x) = x + Ts,
K(x) = kx,
C(x) = cx

則熱平衡為 u C u^-1,冷卻為 u K u^-1
(uCu^-1)(uKu^-1) = uCKu^-1 = uKCu^-1 = (uKu^-1)(uCu^-1),
所以兩個操作可以交換.

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