一個物理問題 - 推理遊戲

※ 引述《allen65535 (語氣生硬，無惡意)》之銘言：
: 問題：有一杯熱咖啡，現在剛好有事沒辦法喝，
: 如果想在喝的時候，可以保有最高的溫度，
: 應該是先加奶精再去忙，還是忙完回來要喝的時候再加奶精？
: 這個問題可以用物理方法解，代數字下去算也算得出來，
: 可是我總覺得應該可以用很簡單的推理得到答案才對。
: 一些條件：咖啡散熱的溫度變化是遵循以自然對數e為底的指數函數
: 奶精的溫度是室溫
: 咖啡加奶精以簡單的熱平衡考慮

這可以用牛頓冷卻定律解釋

dD
─ = -αD (D(t)是t時刻時的溫差，α是比例常數，負號是因為溫差是遞減關係)
dt

得D(t) = c e^(-αt)

給定初始值Do ，得D(t)=Do e^(-αt), t≧0

令T(t)為物體在t時刻的溫度，Ts為室溫，則:

D(t) = T(t) - Ts , Do = To - Ts , T(t) = Ts + (To-Ts) e^(-αt)

設咖啡初始溫度 Tcof ，比熱s1，質量M ; 奶精初始溫度 Ts， 比熱s2， 質量m

Tcof > Ts

先加奶精(a):
M‧s1‧Tcof + m‧s2‧Ts
均衡溫度為X , X = ────────────
M‧s1 + m‧s2

Ta(t) = Ts + (X-Ts) e^(-αt)

後加奶精(b):

T(t) = Ts + (Tcof-Ts) e^(-αt)

M‧s1‧T(t) + m‧s2‧Ts
均衡溫度 Tb (t) = ────────────
M‧s1 + m‧s2


比較Ta(t)和Tb(t):當t > 0時，化簡後得 Ta(t)=Tb(t)

所以先加或後加溫度皆相同，有錯請指教

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