一個問題 數學 想很久 - 拼圖

※ 引述《leads (leads)》之銘言：
: ※ 引述《jerrylibra (GO)》之銘言：
: : 這一題我算了好久
: : 題目是 有一個2次函數 y=x^2+4ax+b
: : 然後有一個區間 -1<x<1 然後對應 -1<y<2
: : 求 a,b是多少?
: 推fjufly的講法 原題的確無解(只考慮情況3 4)
: 我把題目視為
: 有一個區間 -1≦x≦1 然後對應 -1≦y≦2
: Y=x^2+4ax+b
: =(x+2a)^2+(b-4*a^2)
: →可知此為一開口向上之拋物線，且x=-2a時(最低點)
: 有極小值y= b-4*a^2
: →極小值可能落於x=-2a處，但極大值必落於x=1或x=-1處
: <情況1> (過最低點 且範圍偏右)
: -1≦-2a≦1 且-2a<0
: 條件 0<a≦1/2
: 極小值=f(-2a)=b-4*a^2=-1
: 極大值=f( 1 )=1+4a+b=2
: 所以a=-1或a=0(皆不合)
你計算錯誤b-4a^2=-1 →b+1=4a^2 →4a^2+4a-2=0
1+4a+b=2 b+1=2-4a a=(-1+√3)/2 →b=3-2√3


: <情況2> (過最低點 且範圍偏左)
: -1≦-2a≦1 且-2a>0
: 條件 -1/2 < a<0
: 極小值=f(-2a)=b-4*a^2=-1
: 極大值f=( -1 )=1-4a+b=2
: 所以a=1/2- √3/2
: b=3-2 √3
: <情況3> (不過最低點 且範圍偏右)
: -2a<-1
: 條件 a>1/2
: 極小值=f( -1)= 1-4a+b =-1
: 極大值=f( 1 )=1+4a+b=2
: 所以a=3/8(不合)
: b=-1/2
: <情況4> (不過最低點 且範圍偏左)
: -2a>1
: 條件 a< -1/2
: 極小值=f( 1)= 1+4a+b =-1
: 極大值=f( -1 )=1-4a+b=2
: 所以a=-3/8(不合)
: b=-1/2
: <情況5> (過最低點 且範圍置中)
: -2a=0
: 條件 a=0
: 極小值=f(-2a)=b-4*a^2=-1
: 極大值=f( 1 )=1+4a+b=2
: F(-1)=1-4a+b=2
: 所以a=0
: 由極小值:b=-1
: 由極大值:b= 1
: (故 無解)
: 所以情況1、3、4、5皆無解
: 本題恰有一解 即
: a=1/2- √3/2
: b=3-2 √3
: 遲來的真相
: http://photo.xuite.net/v22111024

這題的答案是兩個就是情況1跟情況2
a=(-1+√3)/2 , b=3-2√3
a=(1-√3)/2 , b=3-2√3

驗算如下：

a=(-1+√3)/2 , b=3-2√3 → y=(x+√3-1)^2 -1
y(-1)=6-4√3=-0.92
y(1-√3)=y(-0.73)=-1....min
y(1)=2....max

a=(1-√3)/2 , b=3-2√3 → y=(x-√3+1)^2 -1
y(-1)=2....max
y(√3-1)=y(0.73)=-1....min
y(1)=-0.92


我之前所算的忘記帶入驗算
圖形：左低右高→max=y(1),min=y(-1)
y(1)=2 =b+1+4a a=3/8
y(-1)=-1=b+1-4a b=-1/2

y=x^2+4ax+b=(x+2a)^2 +(b-4a^2)
=(x+3/4)^2 -17/16
^^^^^y(-3/4)小於-1 不合


圖形：左高右低→max=y(-1),min=y(1)
y(1)=-1=b+1+4a a=-3/8
y(-1)=2 =b+1-4a b=-1/2

y=x^2+4ax+b=(x-3/4)^2 -17/16
^^^^^一樣不合


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