一個問題 數學 想很久 - 拼圖

※ 引述《leads (leads)》之銘言：
: ※ 引述《jerrylibra (GO)》之銘言：
: : 這一題我算了好久
: : 題目是 有一個2次函數 y=x^2+4ax+b
: : 然後有一個區間 -1<x<1 然後對應 -1<y<2
: : 求 a,b是多少?
: 推fjufly的講法 原題的確無解(只考慮情況3 4)
: 我把題目視為
: 有一個區間 -1≦x≦1 然後對應 -1≦y≦2
: Y=x^2+4ax+b
: =(x+2a)^2+(b-4*a^2)
: →可知此為一開口向上之拋物線，且x=-2a時(最低點)
: 有極小值y= b-4*a^2
: →極小值可能落於x=-2a處，但極大值必落於x=1或x=-1處
: <情況1> (過最低點 且範圍偏右)
: -1≦-2a≦1 且-2a<0
: 條件 0<a≦1/2
: 極小值=f(-2a)=b-4*a^2=-1
: 極大值=f( 1 )=1+4a+b=2
: 所以a=-1或a=0(皆不合)
算錯了
a = -1/2 + √3/2
b = 3 - 2√3
: <情況2> (過最低點 且範圍偏左)
: -1≦-2a≦1 且-2a>0
: 條件 -1/2 < a<0
: 極小值=f(-2a)=b-4*a^2=-1
: 極大值f=( -1 )=1-4a+b=2
: 所以a=1/2- √3/2
: b=3-2 √3
: <情況3> (不過最低點 且範圍偏右)
: -2a<-1
: 條件 a>1/2
: 極小值=f( -1)= 1-4a+b =-1
: 極大值=f( 1 )=1+4a+b=2
: 所以a=3/8(不合)
: b=-1/2
: <情況4> (不過最低點 且範圍偏左)
: -2a>1
: 條件 a< -1/2
: 極小值=f( 1)= 1+4a+b =-1
: 極大值=f( -1 )=1-4a+b=2
: 所以a=-3/8(不合)
: b=-1/2
: <情況5> (過最低點 且範圍置中)
: -2a=0
: 條件 a=0
: 極小值=f(-2a)=b-4*a^2=-1
: 極大值=f( 1 )=1+4a+b=2
: F(-1)=1-4a+b=2
: 所以a=0
: 由極小值:b=-1
: 由極大值:b= 1
: (故 無解)
: 所以情況1、3、4、5皆無解
: 本題恰有一解 即
: a=1/2- √3/2
: b=3-2 √3
: 遲來的真相
: http://photo.xuite.net/v22111024

如果條件改成 -1≦x≦1 -1≦y≦2 的話
那我肯定會有兩解，一定不只一解
從圖形的角度來看很容易就可以證明

二次函數可以改寫成 y = A(x+B) + C
其中A是控制拋物線的曲率、形狀 B和C只會影響到頂點的位置
原題y=x^2+4ax+b 很明顯 A = 1
也就是這個二次函數的圖形長得和y=x^2一樣，只是因為頂點位置不同，整個平移而已

現在考慮一下y=x^2，假如任取一段x區間為2的線段且不包含頂點
則y的變化量至少也要4
回到原題目 -1≦x≦1 => x區間為2
-1≦y≦2 => y的變化只有3
所以頂點不能超出-1≦x≦1的範圍
(leads所說的情況3、4是不合的)

如果頂點在x=0的地方呢? 又可以很容易看出y的變化量最大為1
但y的變化量為3，所以不合
(leads所說的情況5不合)
將圖形上下左右移動一下
就會發現只能有兩個拋物線合乎題目的條件
其中一條拋物線頂點在-1≦x≦0、另一條拋物線的頂點在0≦x≦1
(leads所說的情況1) (leads所說的情況2)

所以本題有兩解

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