一個問題 數學 想很久 - 拼圖

※ 引述《jerrylibra (GO)》之銘言：
: 這一題我算了好久
: 題目是 有一個2次函數 y=x^2+4ax+b
: 然後有一個區間 -1<x<1 然後對應 -1<y<2
: 求 a,b是多少?

推fjufly的講法 原題的確無解(只考慮情況3 4)

我把題目視為

有一個區間 -1≦x≦1 然後對應 -1≦y≦2





Y=x^2+4ax+b
=(x+2a)^2+(b-4*a^2)

→可知此為一開口向上之拋物線，且x=-2a時(最低點)

有極小值y= b-4*a^2

→極小值可能落於x=-2a處，但極大值必落於x=1或x=-1處



<情況1> (過最低點 且範圍偏右)

-1≦-2a≦1 且-2a<0

條件 0<a≦1/2
極小值=f(-2a)=b-4*a^2=-1
極大值=f( 1 )=1+4a+b=2

所以a=-1或a=0(皆不合)



<情況2> (過最低點 且範圍偏左)

-1≦-2a≦1 且-2a>0

條件 -1/2 < a<0
極小值=f(-2a)=b-4*a^2=-1
極大值f=( -1 )=1-4a+b=2

所以a=1/2- √3/2
b=3-2 √3


<情況3> (不過最低點 且範圍偏右)

-2a<-1

條件 a>1/2
極小值=f( -1)= 1-4a+b =-1
極大值=f( 1 )=1+4a+b=2

所以a=3/8(不合)
b=-1/2


<情況4> (不過最低點 且範圍偏左)

-2a>1

條件 a< -1/2
極小值=f( 1)= 1+4a+b =-1
極大值=f( -1 )=1-4a+b=2

所以a=-3/8(不合)
b=-1/2


<情況5> (過最低點 且範圍置中)

-2a=0

條件 a=0
極小值=f(-2a)=b-4*a^2=-1
極大值=f( 1 )=1+4a+b=2
F(-1)=1-4a+b=2

所以a=0
由極小值:b=-1
由極大值:b= 1
(故 無解)




所以情況1、3、4、5皆無解
本題恰有一解 即

a=1/2- √3/2
b=3-2 √3





遲來的真相

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