ProjectEuler 317 Firecracker - 拼圖

※ 引述《LPH66 (-858993460)》之銘言：
: 它的水平速度是 v cosθ 因此飛到那裡時間是 t = x/(v cosθ)
: 而其高度為爆炸點起算 vt sinθ+(g/2)t^2 = x tanθ-(gx^2/2v^2)(sec^2 θ)
: = x tanθ-(gx^2/2v^2)(1+tan^2 θ)
: 容易看出它是 tanθ 的二次式 故最高點在 tanθ = -x/(-gx^2/2v^2) = v^2/gx
: 代入得最高點高度為爆炸點起算 v^2/2g - gx^2/2v^2
: 再來套 utomaya 的推文 我們要積的式子是 [v^2/2g - gx^2/2v^2 + h]2πx dx
: 範圍顯然下界是 0 上界則是讓 [] 中為 0 的值 簡單可算得為 x = (v/g)√(2gh+v^2)
: 式子看起來很可怕但其實只是個單純的 x 的三次多項式而已
: 不定積分結果為 2π(x^2(v^2/4g + h/2) - gx^4/8v^2)
: 代入 x = 0 得 0
: 代入 x^2 = v^2(2gh+v^2)/g^2 化簡後得 πv^2(2gh+v^2)^2/4g^3
: 這就是我們的最終答案了
: 最後只要代入 h = 100, v = 20, g = 9.81 乘開即可 約為一百八十幾萬

嗯, 我一開始的想法是∫x^2π(-dy)，為什麼是-dy? 因為dy其實是負的
借用H大的式子，y=v^2/2g-gx^2/2v^2+h
dy/dx=-(g/v^2)*x
-dy=(gx/v^2)dx
∫x^2π(-dy)=π∫x^2*(gx/v^2)dx=(gπ/v^2)∫x^3dx=(gπ/4v^2)x^4

上下限用(v/g)√(2gh+v^2)跟0代
算出來一樣是πv^2(2gh+v^2)^2/4g^3
不過 看你的式子似乎是用∫yπd(x^2)去計算，算出來答案是一樣的。


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