※ 引述《babufong (嗶嗶)》之銘言：
: 317. Firecracker
: http://projecteuler.net/index.php?section=problems&id=317
: 煙火在地表上 100m 的高空被炸成許多小碎片
: 這些小碎片們飛向每個方向
: 然而這些小碎片們的初速度是 20m/s
: 我們假設這些小碎片們沒有空氣阻力
: 然後它們的重力加速度是 g = 9.81m/(s^2)
: 試求這些小碎片們從炸開到落地走的路徑與地表圍成的區域體積
: 答案請精準到小數下第四位（單位為m^3）
: → utomaya:跟我最初的構想一樣 這個區域離爆炸中心點水平方向x公尺處 01/02 21:47
: → utomaya:垂直高度都是一樣的 所以可切成薄圓柱 總和其體積 01/02 21:49
: → utomaya:就跟微積分的做法一樣 只是我不知道如何列式? 只好硬幹了 01/02 21:50
以下有詳解 防雷
先不管數字, 令加速度是 g, 初速度是 v, 爆炸點高 h
我們先來求離爆炸點水平 x 處的最高點在哪
對一個往水平斜上θ角射出的碎片來說
它的水平速度是 v cosθ 因此飛到那裡時間是 t = x/(v cosθ)
而其高度為爆炸點起算 vt sinθ+(g/2)t^2 = x tanθ-(gx^2/2v^2)(sec^2 θ)
= x tanθ-(gx^2/2v^2)(1+tan^2 θ)
容易看出它是 tanθ 的二次式 故最高點在 tanθ = -x/(-gx^2/2v^2) = v^2/gx
代入得最高點高度為爆炸點起算 v^2/2g - gx^2/2v^2
再來套 utomaya 的推文 我們要積的式子是 [v^2/2g - gx^2/2v^2 + h]2πx dx
範圍顯然下界是 0 上界則是讓 [] 中為 0 的值 簡單可算得為 x = (v/g)√(2gh+v^2)
式子看起來很可怕但其實只是個單純的 x 的三次多項式而已
不定積分結果為 2π(x^2(v^2/4g + h/2) - gx^4/8v^2)
代入 x = 0 得 0
代入 x^2 = v^2(2gh+v^2)/g^2 化簡後得 πv^2(2gh+v^2)^2/4g^3
這就是我們的最終答案了
最後只要代入 h = 100, v = 20, g = 9.81 乘開即可 約為一百八十幾萬
頁末防雷。
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1989/02/22 優希堂悟 1990/02/22 冬川こころ 1993/07/05 小町つぐみ 1994/05/21 高江
ミュウ 1995/04 歡迎來到 星野遊々 1997/03/24 守野いづみ 1997/03/24 伊野瀬チサト
1998/06/18 守野くるみ 1999/10/19 打越鋼太郎的 楠田ゆに 2000/02/15 樋口遙 2002/
12/17 八神ココ 2011/01/11 HAL18於朱倉岳墜機 2011/04/02 ∞與∫的世界 茜崎空啟動
2012/05/21 第貮日蝕計畫預定 2017/05/01~07 LeMU崩壞事故 2019/04/01~07 某大學合宿
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: 煙火在地表上 100m 的高空被炸成許多小碎片
: 這些小碎片們飛向每個方向
: 然而這些小碎片們的初速度是 20m/s
: 我們假設這些小碎片們沒有空氣阻力
: 然後它們的重力加速度是 g = 9.81m/(s^2)
: 試求這些小碎片們從炸開到落地走的路徑與地表圍成的區域體積
: 答案請精準到小數下第四位（單位為m^3）
: → utomaya:跟我最初的構想一樣 這個區域離爆炸中心點水平方向x公尺處 01/02 21:47
: → utomaya:垂直高度都是一樣的 所以可切成薄圓柱 總和其體積 01/02 21:49
: → utomaya:就跟微積分的做法一樣 只是我不知道如何列式? 只好硬幹了 01/02 21:50
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我們先來求離爆炸點水平 x 處的最高點在哪
對一個往水平斜上θ角射出的碎片來說
它的水平速度是 v cosθ 因此飛到那裡時間是 t = x/(v cosθ)
而其高度為爆炸點起算 vt sinθ+(g/2)t^2 = x tanθ-(gx^2/2v^2)(sec^2 θ)
= x tanθ-(gx^2/2v^2)(1+tan^2 θ)
容易看出它是 tanθ 的二次式 故最高點在 tanθ = -x/(-gx^2/2v^2) = v^2/gx
代入得最高點高度為爆炸點起算 v^2/2g - gx^2/2v^2
再來套 utomaya 的推文 我們要積的式子是 [v^2/2g - gx^2/2v^2 + h]2πx dx
範圍顯然下界是 0 上界則是讓 [] 中為 0 的值 簡單可算得為 x = (v/g)√(2gh+v^2)
式子看起來很可怕但其實只是個單純的 x 的三次多項式而已
不定積分結果為 2π(x^2(v^2/4g + h/2) - gx^4/8v^2)
代入 x = 0 得 0
代入 x^2 = v^2(2gh+v^2)/g^2 化簡後得 πv^2(2gh+v^2)^2/4g^3
這就是我們的最終答案了
最後只要代入 h = 100, v = 20, g = 9.81 乘開即可 約為一百八十幾萬
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