200天井的抽數分布 - 手遊

※ 引述《mathtsai (mathtsai)》之銘言：
: 推 JARVIS00: 什麼時候才有新池抽 08/23 16:41
: 推 WuhanWinnie: 期望是107.8抽 用算的即可 08/23 16:45
: → gohomexx: @WuhanWinnie 可否指點一下計算的公式? 08/23 16:46
: 推 dustlike: 期望值的定義呀，各項結果乘以其機率 08/23 16:53
: 推 crazy60p: 可能是不知道機率函數長怎樣吧, 去找 負二項式分佈 看看 08/23 16:58
: 推 WuhanWinnie: 手邊沒電腦只放連結 08/23 17:03
: → WuhanWinnie: https://www.ptt.cc/bbs/PCReDive/M.1616676029.A. 08/23 17:03
: → WuhanWinnie: 293.html 08/23 17:03
: → WuhanWinnie: 算出第幾抽會抽到的機率 08/23 17:05
: → WuhanWinnie: 1~200每個都相加即可 08/23 17:05
: 推 gohomexx: 謝謝 08/23 17:11
: → charlie1667: http://i.imgur.com/YW5BtpO.jpg 08/23 18:40
: 這寫法滿猛的耶 沒想到w
: 推 crazy60p: 該取 200 抽還是 199 抽是個可以討論定義的問題... 因為 08/23 19:05
: → crazy60p: 第 200 抽綑綁了天井交換 08/23 19:05
: → charlie1667: 沒必要用199去算 1~200+201後跟1~199+200後是一樣的 08/23 19:54
: 推 shizuQ: 推出來真的和charlie1667的公式一樣，不知有沒有較為直覺 08/23 22:53
: → shizuQ: 的理解方式？ 08/23 22:53

一個離散隨機變數 X 如果不會小於零，那 X 的期望值有一個特別的算法

∞
E[X] = Σ P(X > n)
n=0

這個算法在這類抽取實驗的觀測相當方便


在公主連結的卡池這個案例裡面，我們的隨機變數X就是「抽到角色所需要的次數」
為了方便討論，我用 p = 0.007 作為單抽出獎的機率

那接著就是要考慮怎麼去算 P(X > n) 了

首先，所謂的 P(X > n) 就是 抽了 n 次沒有抽到角色 的機率

1. 我想聰明的大家很快就可以發現，當 n>=200的時候， P(X>n) = 0
為什麼呢？因為現在200次就會天井，所以不會發生你抽了200以上卻沒有抽到角色的事件

2. 那 n = [0, ... ,199] 呢？
在沒有觸發天井的時候，抽了n次沒有超到角色的機率顯然就是 (1-p)^n


綜合 1.,2.，

P(X > n) = (1-p)^n , 0<= n < 200
0 , n >= 200

現在套用最上面的公式

∞
E[X] = Σ P(X > n)
n=0

199
= Σ (1-p)^n
n=0

= 1/p * (1 - (1-p)^200) (等比級數)

這樣算起來還挺方便的


對了，如果 X 不是離散的隨機變數而是連續的隨機變數，
也有個類似的算法，

∞
E[X] = ∫ P(X > t) dt
0

--
早川秋看到的未來
https://i.imgur.com/aRFJqId.jpg
https://i.imgur.com/SXPvXGe.jpg

--