將正整數著色 - 拼圖

感謝大家熱情的回應

先針對兩色的部分回答一個我覺得還算漂亮的證明

用以下幾點可很快做出結論

1) 2a,3a 不同色
否則 a,a,a為解

2) 2,a+1,a+2 不全同色
否則 a,1,1為解

3) 3,a+1,a+2,a+3 不全同色
否則 a,1,2為解

4) 4,a+2,a+4 不全同色
否則 a,2,2為解


WLOG 假設2是黑 3必須是白.
如果4是白,
6必須是黑,因為----1)
5 and 7 是白, -----2)
-><- -----4)
所以4是黑



根據上面性質
2)不能連續兩個黑
3)不能連續三個白
4)不能間隔就黑

著色方法剩下
1 2 3 4 5 6 7 8
B W B W W B W W ..... B W W ...

但此方法三的倍數都是W
所以可以任意找三個三的倍數,兩兩相加和全部相加也都是三的倍數都是W.


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至於原題,是我在看電影看到的,應該有漂亮證明,因為電影情境是在紙筆測驗徵選隊員。

我再回去看了一遍,發現題目要更難一些.

必須存在 a,b,c

滿足 a,b,c,a+b,a+c,b+c,a+b+c都同色.





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