將正整數著色 - 拼圖

如果題目改問 a 2a 3a 的話

是確實存在一種塗色法對任何正整數 a, a 2a 3a 不都同色

(這裡甚至用不到 3a, a 跟 2a 就足夠了)

這個塗色法是: 將正整數做質因數分解

若其 2 的次方數是奇數則塗紅色, 是偶數 (包括沒有因數 2 即所有奇數) 塗藍色

這種塗色法裡, 對所有正整數 a, a 跟 2a 保證不同色

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nobrother 的機率證明只有證明了

「對於"幾乎所有"的塗色法都找得到 a 2a 3a 全同色」

這裡的幾乎所有是機率名詞:

https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%B9%BE%E4%B9%8E%E6%89%80%E6%9C%89

要注意到這個幾乎所有不代表全部, 因此不能做為存在性的否證

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回到原題, 我自己也寫了支程式來跑原題了

程式給我的答案是只要考慮 2~18 的顏色即足夠證明原題

但條列下來的話中間的可能剩餘組數會高達兩百多組, 這顯然不能手寫...

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