魔術方塊的隨機排列 - 拼圖

※ 引述《sansword (放下短暫追求永恆  Ｉ》之銘言：
: 最近在研究
: 如果把魔術方塊拆散 隨機重組 那麼可以"復原"到多大的程度
: 目前的心得是
: 用 layer by layer 的方式 一定可以完成前兩層 所以只要討論最後一層的狀況即可
: 1 2 3
: 4 5 6 <----由上往下看
: 7 8 9
: 5 是中間 一定不會變
: 2 4 6 8 是邊
: 1 3 7 9 是角
: 可得知的是 2 4 6 8 最多只會有一個無法翻到正確的面(也就是腑視顏色和5不同)
: 不過 角還沒仔細想過
: 恩.....拉哩拉雜打了一堆 其實是想問...有沒有人對這樣研究魔術方塊有興趣的呀???
: 想用機率論和離散來討論魔術方塊 給點靈感吧~~~~
現在是凌晨兩點，有機會再詳細說吧


你說的這個問題可以從另一個角度來思考

前兩層一定解的出來沒話說

所以我們確實只需要討論最後一層


你可以這樣思考


我有以下兩種方法可用


1. 把第三層的 "任意兩個邊"

也就是你文章裡面所說的 2,4 2,6 2,8 4,6 4,8 或 6,8

同時翻轉(flip)

而且不會移動到任何小方塊(邊 和 角 都是小方塊) 的位置和方向


2. 把第三層的 "任意兩個角"

也就是你文章所說的 1,3 1,7 1,9 3,7 3,9 或 7,9

同時轉動 120 度

這裡所說的 120 度，
是因為每個魔術方塊的每個 "角" 都有三個方向(orientation)
而 360 度分成三份就是 120 度

而且不會移動到任何其他的小方塊的位置和方向


只要有這兩種方法，第三層的 orientation(方向) 就可以很容易的分析了

所以當你把一個魔術方塊拆掉重組的時候


如果有 奇數個 邊 沒有被按照正確的方向安裝

最後必定會留下一個方向錯誤的邊


如果有一個角被往某個方向(順或逆)轉動後才被安裝回去

必定要有另一個角被往反方向轉動後才被安裝回去

否則最後必定會留下一個方向錯誤的角

並且由上述這點更可以引伸出下面這個規則，

如果有三個角皆被往某方向轉動 120 度後才被安裝回去

魔術方塊同樣可以被解出來並且沒有錯誤

這是因為，其中一個被往順方向轉動的角(假設是順方向，反之亦同)，

可以被視為一個被往逆方向轉動兩次的角

所以這兩次逆方向的轉動正好可以被分配給其餘兩個角來做復原的動作




至於位置(permutation)的部分 和方向則正好不同，

第三層的 orientation 都是以 兩個小方塊 為最小單位做改變

但是 permutation 則是以 三個小方塊 為最小單位做改變

這代表，任意兩個 角 或 邊 被互換位置後，魔術方塊則沒有辦法被解開

會留下兩個必須互換位置的 角 或 邊，而這在不拆開方塊的情況下是無法被恢復的


但是如果有兩組 角 或 邊 同時被互換，則魔術方塊仍可以不需被拆開而被解開

這點可以從 PLL (Permutation of last layer) 的公式裡面看出



打到這邊又過了半個小時了 orz

有機會再看有沒有需要補充的


而你說從這個角度來研究魔術方塊

這從網路上應該可以找到不少資料

Jessica Fridrich 在發明 Layer by layer CFOP 這個方法的時候

應該就先透過類似的分析，才歸納出 57 種 OLL 和 21 種 PLL 的公式的


另外在計算魔術方塊可能組合的時候，也要用到這幾個觀念

可以參考這個網頁 http://www.geocities.com/jaapsch/puzzles/cube3.htm

不過他描述的方法跟我也不太一樣，但我也沒仔細看過

你研究看看吧 XD

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