骰子預測 - 拼圖

※ 引述《ACGfans (ACGfans)》之銘言：
: 你和另外兩個人參加一場遊戲
: 要預測一個百面骰的點數
: 可以選 1~100 其中一個正整數 選過的數字其他人不能再選
: 最接近結果的為贏家
: Q1. 如果你是第一個猜的 你會猜什麼數字?
: Q2. 如果你是第二個猜的 且第一個猜你前面的答案 則你會猜什麼數字?
: Q3. 如果你是第三個猜的 且前兩個猜你前面的答案 則你會猜什麼數字?

首先我想把推文回答的這個設定做一個合理擴充:

: → arthurduh1: 2. 如果第三人可以選擇 A、B 兩種方案，獲勝期望值 07/27 02:35
: → arthurduh1: 相同，但一個對第一人較有利，一個較不利。那 07/27 02:35
: → arthurduh1: 第三人會如何做選擇？這個選擇傾向是公共知識嗎？ 07/27 02:36
: (2) 兩種方案期望值相同的話 則選擇機率皆為50% 50%
: 這個也是公共知識沒錯
我把它擴充成: 如果每個人的所有最高期望勝率的選擇有不止一個時

該人的選擇將是這些選擇中均勻隨機地選一個

那麼以下有雷

算是個認真的把各個細節機率拿出來討論的做法

(最後會附一個 TL;DR 版, 跳到第 11 頁就是了)























考慮第三人的策略

在前兩人選了 x < y 的狀況下, 第三人有三種選擇:

(1) 選 < x: 則選 x-1 有 (x-1)% 機會勝
(2) 選 > y: 則選 y+1 有 (100-y)% 機會勝

(3) 選 (x,y) 之中的數:

這裡要小討論一下了 -- 因為是存在能夠擠出那一點點勝率的選擇

容易看出選這中間可以得到約是 (y-x)/2 % 的勝率

不過如果能運用兩人同時勝利的規則的話可以多擠一點點:

例如前面選的是 50 和 80, 那選 65 能獲勝的範圍是 [58, 72] 15% 機會

但選 64 能獲勝的範圍卻是 [57, 72] 有 16% 機會

而能有 16% 機會的選項有很多個: 選 52 則獲勝範圍是 [51, 66] 也是 16%
選 78 則獲勝範圍是 [64, 79] 也是 16%

總得來說, 若 y-x 是偶數, 則第三人選中間可以有 [(y-x)/2 + 1]% 的勝率
第三人的選擇有 (y-x)/2 - 1 種

如果是奇數呢? 那兩邊只會有一邊是同時勝利

例如已選 50 和 79, 則選 51~78 的所有數都能得到 15% 勝率

若選 53 或 54 則獲勝範圍都是 [52, 66]
選 75 或 76 則獲勝範圍都是 [63, 77], 不管怎樣都是 15%

所以若 y-x 是奇數, 則第三人選中間可以有 [(y-x+1)/2]% 的勝率
第三人的選擇有 y-x-1 種

那麼, 第三人的選項就是這些當中勝率最高的選擇了

====

來到第二人

以下為簡化討論設第一人選的 x <= 50 (另一半對稱)

第二人能在第一人選的 x 的兩邊選

如果能夠使第三人和自己選在 x 的不同邊, 那離 x 越近最好

例如若第一人選 48

第二人若選 47, 則第三人會選 49, 這樣第二人有 47% 勝率 (<= 47 勝)

第二人若選 54, 則第三人會選 46, 這樣第二人有 50% 勝率 (>= 51 勝)

有趣的是若第二人選 53, 則第三人有一半一半機會選 46 或 54

前者第二人勝率 50% (>= 51 勝), 後者第二人勝率 3% (只有 51,52,53 勝)

這時自己勝率的期望值只有 26%, 比前兩者都差

那麼, 這裡能夠確定決策的是第三人不會選兩人中間的選擇

這對應第一人選 >= 27 的範圍, 第二人的最佳選擇是 102-x

勝率都是 50% (>= 51 勝)

可以確定這裡沒有其他同樣勝率的選擇

那如果第三人有機會選兩人中間呢?

上面的第三人選擇數就會納入考量了:

例如若第一人選 25, 則第二人選 76 會使第三人選中間有 26% 勝率

由於差是奇數, 第三人會在 26~75 中均勻隨機選一個

那第二人的勝率是:

第三人選 26 則 50% (>= 51 勝)
選 27 或 28 則 49% (>= 52 勝)
選 29 或 30 則 48% (>= 53 勝)
...
選 73 或 74 則 26% (>= 75 勝)
選 75 則 25% (>= 76 勝)

全部平均下來是 37.5%

如果第二人選 77, 則第三人選中間有 27%, 但只會選 27,29,...,75

那第二人的勝率是:

第三人選 27 則 49% (>= 52 勝)
選 29 則 48% (>= 53 勝)
...
選 73 則 26% (>= 75 勝)
選 75 則 25% (>= 76 勝)

全部平均是 37%

類似的討論可以看出, 當中間範圍越大則第二人自己會越吃虧

大致上的勝率是比自己大的部份 + 中間範圍的約一半

但如果比自己大的部份大到第三人會去選那邊則虧更大, 自己的勝率只剩下中間的一半

例如這時如果第二人選 74, 則第三人選 75 有 26% 勝率比選中間更高, 自己就虧了

因此這部份第二人的最佳選擇就會是靠近 2:1 的分界點的數值

例如上例第一人選 25 時第二人最佳選擇是 75, 有 38.5% 勝率

(這裡我刻意跳過第一人選 26 的狀況, 這在下面會討論)

====

於是終於來到第一人, 同樣設他選 <= 50 的數

第二人的策略表示: 如果第一人選 >= 27 的數

則第二人會把第三人選擇塞到自己的外側來吃掉大部份的勝率

這樣第一人的勝率只剩下中間的一半

因此他需要選這範圍之外的數, 讓第三人選兩人中間的範圍, 保住自己外側

顯然讓自己外側越大越有利, 因為第二人會卡在 2:1 分界點上

自己的勝率總得來說約是自己外側 + 另一邊的三分之一, 自然自己越接近 27 越好

上面已經分析了選 25 的狀況, 這時第二人選 75

第三人的選項給第一人的勝率是:

第三人選 27 則 26% (<= 26 勝)
選 29 則 27% (<= 27 勝)
...
選 73 則 49% (<= 49 勝)

平均下來是 37.5%

若第一人選 26 呢?

第二人選 >= 76 則狀況和上面一樣, 第三人只能選中間

這當中選 76 則有勝率 37.5% 最高

然後第二人選 75 則是一個更有趣的狀況:

第三人的策略對已選 26, 75 的狀況時, 三段他都能選, 都有 25% 勝率

因此第三人的可能策略是 25,27,28,...,73,74,76 這些全部

第二人的這些狀況勝率平均起來將是 37.98%, 比 76 還好 (實際數字是 (38 - 1/50)%)

因此第一人選 26 時第二人會選 75

不過由於 26 和 75 對稱, 第一人的勝率將會和第二人一樣是 37.98%, 也比 25 還好

所以這就是第一人的最終選擇了

====

因此最終結論是: 第一人 26, 第二人 75 (或對稱地第一人 75, 第二人 26)

第三人選 [25,76] 中未被選的任一數

前兩人勝率 37.98%, 第三人勝率 25%

====

把上面這一大串簡化到很簡單的說明就是這樣: (TL;DR 版)

把整段被前兩人選擇切成三段的話

第三人勝率是小邊全部、或大邊全部、或中間的一半, 三者中最大的

第二人要避免第三人吃掉自己的外側, 但又要讓外側儘量大

因此會用中間 2 : 外側 1 的比例切

第一人要避免第二人把第三人的選擇塞到自己這邊來, 但也要讓外側儘量大

所以會選全範圍大約 1/4 的位置

然而剛好在內切一點點的 26 / 75 位置時, 因為兩人同時勝利規則

使得這時第三人的三個選擇都是一樣的

而這個狀況裡就算第三人可能切到自己外側

但因為 1:2:1 的分段關係自己的平均勝率沒有影響太多

所以 26 / 75 就是前兩人的最終選擇





















就覺得一些東西相等的地方會有點微妙....

數學版上有人的回答有點不一樣, 我想應該是

(1) 沒仔細考慮第三人的多重選擇 (2) 因此沒去細算剛好踩線的數值

這樣的關係

不過因為是在筆記本上邊寫邊整理, 應該是沒有算錯但還是可以幫忙檢查一下...

--
Ace Snake Santa Clover Junpei June Seven Lotus 9th man cabin kitchen casino
shower operating room laboratory Ｔ Ｈ Ｅ chart captain quarter confinement
torture room steam engine room cargo chapel library study incinerator Gigantic
Q director office security Ｎ Ｏ Ｎ Ａ Ｒ Ｙ archives control laboratory
pec treatment garden pantry gaulem bay rec room crew quarters infirmary lounge
elevator Tenmyouji Quark Dio Ｇ Ａ Ｍ Ｅ Ｓ Luna Phi Sigma Alice Clover K

--