雙人賽計分 -- Neuberg Formula - 橋牌

※ [本文轉錄自 BridgeClub 看板]

作者: jmc (cryptomatician) 看板: BridgeClub
標題: 雙人賽計分 -- Neuberg Formula
時間: Mon Sep 17 23:09:51 2007

一、前言

讓我們考慮這樣的狀況︰星期五晚上的七桌雙人賽 (浩威爾
移動方式) 已接近尾聲，其中一桌正要進行牌號16的最後一牌，
而其他六桌均已打完最後一圈，等這桌結束即可計算全部成績。
在第16牌, 先前其餘六桌的南北方得分由高至低排列如下︰

南北 東西 南北得分
5 13 450
12 10 430
3 4 420
7 1 400
14 8 -50
6 9 -100

此桌南北方是第 2對，東西方是第11對。由於每副牌有七個
成績，頂分是 6序分。在比賽結束後，第 5對有多大機會在此牌
維持最高得分呢？有三種可能︰

(1) 第 2對得分低於 450，於是第 5對獲得淨頂分 6序分。
(2) 第 2對得分亦為 450，那麼第 5對共享頂分 5.5序分。
(3) 第 2對得分高於 450，則第 5對讓出頂分，獲 5序分。

如果上述三種情形發生的機率一樣，那麼第 5對此牌的序分
期望值 (expected value) 應為 5.5序分。

但是，我們知道這三種情況發生機率不應一樣，(1) 的機率
高於後二者。畢竟第 5對已經擊敗所有其他的五對南北方，他們
很可能再把第 2對比下去 -- 不完全確定，但發生的機會頗大。

因此，在上述條件下，第 5對在第16號牌的序分期望值應該
很接近 6序分，而非 5.5序分。

我們再假設，比賽時間已經拖得太晚，大家都不願意等這桌
打完；或是賽員發現此牌在前一桌裝錯方位，東西方的牌放反，
導致這牌無法正常進行，裁判決定指定給第 2對和第11對平均分
(Average) 或高於平均分 (Ave+)。

由於其他牌的頂分均為 6序分，這副牌必須維持相同的權重
(weight)。那麼，第 5對得到多少序分才是合理的呢？由先前的
討論，我們知道應該較接近 6序分，而非 5.5序分。

也就是說︰若將南北方第 5、12、3、7、4、6 對依序給予
5.5、4.5、3.5、2.5、1.5、0.5 序分，則明顯虧待第 5對，也
太便宜應該得到接近零鴨蛋的第 6對；這樣的處理雖然計算起來
很簡單，但是並不公平。


二、調整

早在1970年代，法國 Gerard Neuberg 即提出解決上述問題
的方法。在橋壇取得共識之後，為世界橋藝協會(WBF)所採用。
沿用以上範例，我們將它的原則作如下說明︰

南北 得分 頻率 序分
5 450 1 5
12 430 1 4
3 420 1 3
7 400 1 2
14 -50 1 1
6 -100 1 0

正常情況下，六個成績的序分如上表所列。但是此牌應該有
七個成績，其他牌的頂分均為 6序分，因此我們把上述每個成績
的出現次數 (頻率) 調整變成人為的 7/6 次︰

南北 得分 頻率 序分
5 450 7/6 5x7/6 +1/12 ≒ 5.92
12 430 7/6 4x7/6 +1/12 ≒ 4.75
3 420 7/6 3x7/6 +1/12 ≒ 3.58
7 400 7/6 2x7/6 +1/12 ≒ 2.42
14 -50 7/6 1x7/6 +1/12 ≒ 1.25
6 -100 7/6 0x7/6 +1/12 ≒ 0.08

可以看到，每兩個相鄰序分的差距都是 7/6。至於額外加上
的 1/12，是為了讓上下對應序分加總皆為 6 所作的微調，亦即
5.92 + 0.08 = 4.75 + 1.25 = 3.58 + 2.42 = 6。

若將上述原理公式化，依循橋藝百科全書 [1] 的寫法如下，
稱為 Neuberg formula︰

M = (S x N) / n + (N - n) / 2n

M: 此牌最後的序分
N: 此牌應有的成績個數
S: 實際比較所得的序分
n: 實際比較的成績個數

以第 5對為例，此處 N=7，S=5，n=6，因此在第16牌得到的
序分是 M = 5x7/6 + (7-6)/12 ≒ 5.92。

如果第16牌是在第八圈開始放錯方位，造成有兩組不能互相
比較的成績，但各組還是可以自行比較並計算序分，則依然套用
上述 Neuberg formula。但若每組成績只有三個或更少，則不再
使用上述公式，WBF 另有明文規定，且行之有年。


三、應用範圍

自1990年起，美國橋藝協會 (ACBL) 追隨世界橋協的腳步，
於各大小雙人賽全面採用 Neuberg formula。

在美國橋協網站 (www.acbl.org) 上，不但將其發展的計分
程式 (ACBLscore) 提供公開下載，亦準備一套常見問答(FAQ)。
其中第六問的答案即記載了 Neuberg formula，說明當裁判指定
Ave+/Ave- 之後，序分中出現不自然的小數是怎麼來的 [2]。

筆者於美國讀研究所期間，觀察到雙人賽最普遍「怪序分」
是 11.96 和 0.04；此乃常見的一組十三桌 (米契爾移動方式)
少了一個成績，只剩下12個成績比較時，淨頂分 (pure top) 和
淨底分 (pure bottom) 依 Neuberg 公式所作的調整。

世界公開雙人賽 (World Open Pairs) 於每四年舉行一次的
世界錦標賽 (World Bridge Championships) 之中進行。2006年
世錦賽補充規則 [3] 第31頁刊登的公式，與上列 Neuberg 公式
稍有不同，但原理完全一樣。原因是世界橋協與歐洲各國舉辦的
雙人賽，習慣以 0、2、4、... 作為序分，與美國或臺灣慣用的
0、1、2、... 不同；他們這麼做目的是當有兩桌成績相同時，
避免出現 .5 小數的序分，讓數字看起來比較清爽。

關於 Neuberg formula 的來源，筆者在網路上找到最完整
的說明，是由英國裁判長 Max Bavin 撰寫的 [4]，本文一開始
的範例即改寫自該篇文章的第一個例子。

在這方面，我們落後 WBF 和 ACBL 近二十年之久。為維持
雙人賽出現突發狀況後的公平性，臺灣的計分程式也應開始採用
Neuberg 公式了。

將來如果橋友們參加雙人賽，看到序分中出現奇怪的小數，
它們其實沒那麼奇怪。如本文所述，它來自 Neuberg formula，
是最為廣泛採用的合理調整方式。


四、參考文獻

[1] The Official Encyclopedia of Bridge (橋藝百科全書)
"Fouled Board" 項目

[2] ACBLscore Frequently Asked Questions,
http://www.acbl.org/acblscore/acblscoreFaqs.html

[3] Supplementary Conditions of Contest of the 2006
WORLD BRIDGE CHAMPIONSHIPS,
http://www.worldbridge.org/tourn/Verona.06/
2006SupplementalConditionsofContest.pdf

[4] Match-pointing boards with an unequal number of
scores -- The Neuberg formula, URL 較長但以 Google
搜尋 Neuberg formula 可很快找到


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