關於「立體哆咪諾」（Rehm's Cube Set） - 拼圖

「立體哆咪諾」是一種多方塊的遊戲。
它一共有九個拼塊，以及兩顆骰子
骰子的每一面都塗上有顏色的圓點
每個顏色都能找到與之對應的拼塊

它的玩法是：
先任意擲兩顆骰子，看朝上的顏色是什麼
然後依顏色找出相對應的兩個拼塊，將它們放置一旁不用
再將其餘七個拼塊組成３╳３╳３的立方體。

這九個拼塊，都是由若干的正立方體所組成
其結構如下：

+----+
/ /|
+----+ |
| | + +----+ +----+----+
| | | / /| / /|
+ + | +----+ | +----+----+ |
| | + | | +----+ | | +
| | | | |/ /| | | |
+ + | + +----+ | + + |
| | + | | + | | +
| |/ | |/ | |/
+----+ +----+----+ +----+----+

「Ｉ」 「Ｖ」　　　　　　　「Ｏ」
３個單位 ３個單位 ４個單位

+----+ +----+
/ /| / /|
+----+ | +----+ |
| | + +----+ | | +----+
| | | / /| | |/ /|
+ + | +----+ | + +----+ |
| | +----+ +--| | +----+ | | +
| |/ /| / | |/ /| | | |
+ +----+ | +----+ +----+ | +----+ + |
| | + | | + | | +
| |/ | |/ | |/
+----+----+ +----+----+----+ +----+
「Ｌ」 　　　　　　「Ｔ」　　　　　「Ｎ」
４個單位 ４個單位 ４個單位

+----+ +----+ +----+
/ /| / /| / /|
+----+ | +----+ | +----+ |
| | +----+ +--| | + | | +----+
| |/ /| / | | | | |/ /|
+ + + | + + + | +----+----+ |
| / / + / /| | + / /| | +
| +----+ / +----+ | |/ +----+ | |/
+--| | + | | +----+ | | +----+
| |/ | |/ | |/
+----+ +----+ +----+

「Ｙ」 　　　　　「Ｚ」　　　　　「Ｘ」
４個單位　　　　　４個單位　　　　４個單位


※英文編號沒有一定的標準


其實「立體哆咪諾」的名字取得並不好
甚至可以說是不正確的
因為哆咪諾的原文是「dominos」
這是「二連方」的意思

所謂二連方就是指兩個正方形相接的圖形：

■■

由於骨牌也是這樣的形狀
所以它也有骨牌的意思

有一家知名的連鎖店就是以此為命名
它就是眾所周知的「達美樂」比薩
它們的logo乍看是兩顆骰子
其實是「一張」骨牌

骨牌的基本玩法是用上面的點數來接龍
不過似乎更常被拿來玩「推倒」的遊戲……（笑）

「立體哆咪諾」是一種多方塊
所以即使要命名也該用「polycubes」
或者是它正式的名字「Rehm's Cube Set」才合理


◆產品的兩種款式

現在在台灣能夠買到的立體哆咪諾
似乎都是大陸製的
而且還出了兩種不同的版本

為了簡明起見，
直接用表格的方式來比較其中差異：

┌────┬──────────────┬────────────┐
│產品版本│ 　 外包裝 　　│兩顆骰子是否有底色？ │
├────┼──────────────┼────────────┤
│第一版 │木盒有蓋，呈２╳３╳６排列。│無，以木頭原色呈現。 │
├────┼──────────────┼────────────┤
│第二版 │紙盒包裝，呈３╳３╳４排列。│有，一為紅底；一為白底。│
└────┴──────────────┴────────────┘

兩種版本的顏色也稍微有些不同：

┌────┬─┬─┬─┬─┬─┬─┬─┬─┬─┐
│產品版本│Ｉ│Ｖ│Ｏ│Ｌ│Ｔ│Ｎ│Ｙ│Ｚ│Ⅹ│
├────┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┤
│第一版 │黑│白│粉│黃│紅│橙│靛│綠│藍│
├────┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┤
│第二版 │黑│白│紅│黃│無│橙│黑│綠│藍│
└────┴─┴─┴─┴─┴─┴─┴─┴─┴─┘
「粉」：粉紅色
「無」：拼塊無漆色，以原木呈現


◆骰子配色的兩難

由於３╳３╳３的立方體
共有２７顆單位方塊
因此勢必要拿出：

１個３單位方塊（tricubes）
６個４單位方塊（tetracubes）

才有辦法達成

換句話說，我們必須剛好去除

１個３單位方塊，以及
１個４單位方塊，共兩個拼塊才行

為了防止隨機去除掉
兩個３單位方塊
或是兩個４單位方塊
因此我們需要兩顆骰子

一顆全是３單位方塊的顏色
一顆全是４單位方塊的顏色

這麼一來才能萬無一失

可是４單位方塊共有７個
一顆骰子只有六面

該怎麼辦呢？

這產品的兩種版本有不同做法：

第一版：將「Ｏ」與「Ｉ」「Ｖ」的顏色擠進同一骰。
第二版：「Ｔ」不塗色，玩時永不去除。

骰子實際的安排如下：

第一版：

　　 第一骰：　　　　　 第二骰：

┌─┐ ┌─┐
│Ｏ│　　　　　　　　│Ｔ│
├─┼─┬─┬─┐ ├─┼─┬─┬─┐
│Ｉ│Ｖ│Ｉ│Ｖ│ │Ｌ│Ｚ│Ｘ│Ｙ│
├─┼─┴─┴─┘　 ├─┼─┴─┴─┘　　　
　　│Ｏ│　　　　　　　　│Ｎ│
└─┘ └─┘

┌─┐ ┌─┐
│粉│　　　　　　　　│紅│
├─┼─┬─┬─┐ ├─┼─┬─┬─┐
│黑│白│黑│白│ │黃│綠│藍│靛│
├─┼─┴─┴─┘　 ├─┼─┴─┴─┘　　　
　　│粉│　　　　　　　　│橙│
└─┘ └─┘


第二版：

　　 紅底骰：　　　　　 白底骰：

┌─┐ ┌─┐
│Ｉ│　　　　　　　　│Ｏ│
├─┼─┬─┬─┐ ├─┼─┬─┬─┐
│Ｉ│Ｉ│Ｖ│Ｖ│ │Ｎ│Ｌ│Ｘ│Ｙ│
├─┼─┴─┴─┘　 ├─┼─┴─┴─┘　　　
　　│Ｖ│　　　　　　　　│Ｚ│
└─┘ └─┘

┌─┐ ┌─┐
│黑│　　　　　　　　│紅│
├─┼─┬─┬─┐ ├─┼─┬─┬─┐
│黑│黑│白│白│ │橙│黃│藍│黑│
├─┼─┴─┴─┘　 ├─┼─┴─┴─┘　　　
　　│白│　　　　　　　　│綠│
└─┘ └─┘

※雖然第二版有兩塊同樣是黑色，但骰子有分紅底及白底，所以並不會有搞錯的情形。


◆骰子的擲法

第一版骰子的優點是可以擲出所有的組合，
但必須處理兩顆同時擲出４個單位的問題
一般來說
可以進行的程序如下：

一、分擲法
　　１‧擲第一顆骰子，若沒有擲出「Ｏ」就繼續丟第二顆骰子。
　　２‧若擲出「Ｏ」，那麼再繼續擲第一顆骰子，直到出現「Ｉ」或「Ｖ」為止。

二、並擲法
　　１‧同時擲兩顆骰子。若沒出現「Ｏ」，那麼便取這兩色。
　　２‧若是出現「Ｏ」，那麼不管另一顆骰子出現什麼，都不加以理會。
　　　　並且重擲第一顆骰子，直到出現「Ｉ」或「Ｖ」為止。

第二版骰子雖然沒辦法擲出所有的組合
但是玩法比第一版簡單許多
可以進行的程序如下：

一、並擲法
　　１‧同時擲兩顆骰子，看所得到的顏色即可。

大多數的人應該會比較喜歡第二版
因為玩法簡明多了


◆漏掉的組合與禁忌的組合

讓我們回歸問題的原點

將所有三連立方與四連立方聚集在一起
要取出其中幾塊來組成３╳３╳３的立方體
一共有幾組拼塊能夠達成呢？

三連立方與四連立方一共有十塊
但下列這塊是絕對不可能用上的：

■■■■

剩下的九塊都有機會派得上用場
而這九塊正是「立體哆咪諾」裡的所有組件

在這九個拼塊之中
取出一個３單位、一個４單位的拼塊
一共有１４種組合

這１４種組合都能讓剩下的拼塊組成立方體嗎？

答案是否定的。

１４組當中，唯有「去掉ＶＴ」的組合是無解的
這也就是第二版不讓「Ｔ」去掉的主要原因

但這麼一來
也同時失去玩「去掉ＩＴ」的機會

所以，在玩第一版的時候
如果擲到「ＶＴ」，一定要改成「ＩＴ」才能玩

第二版永遠也擲不到「Ｔ」
不過也有一種解決方案

那就是把「Ｙ」（或「Ｚ」）當做「Ｔ」
若擲出「Ｙ」就當做擲出「ＩＴ」
若擲出「Ｚ」就當做「Ｙ」或「Ｚ」其中一個
因為這兩塊互為鏡射
不管取哪一塊意義都是一樣的
如果是兩人比賽
還可以讓對方任意選擇其一去除


◆組合的解答數

立體哆咪諾有１３種有效組合
以下列出每一種的解答數

但請注意：旋轉、鏡射視為同一組解。

┌─────┬─────╥─────┬─────┐
│去除的拼塊│　解答數　║去除的拼塊│　解答數　│
├─────┼─────╫─────┼─────┤
│ Ｉ　Ｏ　│　２４０　║　Ｖ　Ｏ　│　１３８　│
├─────┼─────╫─────┼─────┤
│　Ｉ　Ｌ　│　　３９　║　Ｖ　Ｌ　│　　２７　│
├─────┼─────╫─────┼─────┤
│　Ｉ　Ｔ　│　　４７　║　Ｖ　Ｔ　│　　　０　│
├─────┼─────╫─────┼─────┤
│　Ｉ　Ｎ　│　２２１　║　Ｖ　Ｎ　│　　９９　│
├─────┼─────╫─────┼─────┤
│　Ｉ　Ｙ　│　３３７　║　Ｖ　Ｙ　│　２４５　│
├─────┼─────╫─────┼─────┤
│　Ｉ　Ｚ　│　３３７　║　Ｖ　Ｚ　│　２４５　│
├─────┼─────╫─────┼─────┤
│　Ｉ　Ｘ　│ ２６１　║　Ｖ　Ｘ　│　　３１　│
└─────┴─────╨─────┴─────┘

其中，去除「ＩＯ」之後
剩下的拼塊
即為全世界知名的「索馬方塊」（Soma cubes）

第一版之所以會把「Ｏ」的顏色
和「ＩＶ」擠在一起
或許也是因為
這樣得到索馬方塊的機率會比較大的緣故

立體哆咪諾的原文名稱是
「Rehm's Cube Set」
但很意外的在網路上並不容易找到它的資料
而且有些資料還有錯誤，實在是有點可惜：

http://www.mathematische-basteleien.de/somacube.htm


※感謝許老師提供第二版產品資料。

puzzlez
2007/06/26

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