※ 引述《znmkhxrw (QQ)》之銘言：
: 大家好(‧^ω^‧)
: 剛剛狂日大大問了個 TOS-MATH 問題如題
: 正常關卡(非禁珠)下開黃泉洗珠，每一屬(不含心)都≧3顆的機率是？
答案：0.544634557955
---------------------------------------
原本認為手算就算捏爛LP也算不出來
不過在今天早上先捏一下下後，發現其實很多項可以couple在一起(‧^ω^‧)
接著再藉由計算網頁就得到許多網友跑程式的結果了
【問題】
假設全版洗盤後版面是平均分布六色珠(含自消盤面)，那五屬性各至少3顆以上機率是？
【答案】
分母 = 全部盤面 = 6^30 = 221073919720733357899776
分子 = 五屬性各至少3顆
= 全部盤面 - 至少有一屬≦2顆
= 221073919720733357899776 - 100669423178347649484640
= 120404496542385708415136
機率 = 分子/分母 = 0.544634557955
【證明】
令 S為所有盤面所成的集合
#(any set) := 此集合的元素個素
令 A 為水珠≦2顆的盤面所成的集合
A_1為水珠＝2顆的盤面所成的集合
A_2為水珠＝1顆的盤面所成的集合
A_3為水珠＝0顆的盤面所成的集合
則 A=A_1∪A_2∪A_3, 且三者互斥(兩兩交集為空集合)
同樣的令出 B(火), C(木), D(光), E(暗)
因此我們所求的"五屬珠至少有一屬≦2顆"
其實就是 #(A∪B∪C∪D∪E)
之後根據排容原理
#(A∪B∪C∪D∪E)
= Σ#(單一集合) - Σ#(兩兩交集) + Σ#(三三交集) - Σ#(四四交集) + Σ#(全交集)
接著觀察到A,B,C,D,E是對稱的
因此每個Σ內只要算一次，之後乘上交集可能方法數即可，具體如下：
(1) Σ#(單一集合) = C(5,1) * #(A)
(2) Σ#(兩兩交集) = C(5,2) * #(A∩B)
(3) Σ#(三三交集) = C(5,3) * #(A∩B∩C)
(4) Σ#(四四交集) = C(5,4) * #(A∩B∩C∩D)
(5) Σ#(全交集) = C(5,5) * #(A∩B∩C∩D∩E)
最後，就是分別計算以下項目：(" ** "代表次方" ^ ")
(a) #(A) = #(A_1) + #(A_2) + #(A_3)
= c(30,2)*5**28+c(30,1)*5**29+5**30
(b) #(A∩B) = #(A_1∩B_1) + #(A_1∩B_2) + #(A_1∩B_3)
+ #(A_2∩B_1) + #(A_2∩B_2) + #(A_2∩B_3)
+ #(A_3∩B_1) + #(A_3∩B_2) + #(A_3∩B_3)
= c(30,4)*c(4,2)*4**26+c(30,2)*c(2,1)*4**28+4**30
+ 2*[c(30,3)*c(3,2)*4**27+c(30,2)*4**28+c(30,1)*4**29]
【紅色部分也是簡化關鍵，因為淺藍那兩個項一樣、綠色一樣、紫色一樣】
(c) #(A∩B∩C)
= c(30,6)*c(6,2)*c(4,2)*3**24+c(30,3)*c(3,1)*c(2,1)*3**27+3**30
+ 3*[ c(30,5)*c(5,2)*c(3,2)*3**25+c(30,4)*c(4,2)*3**26+c(30,2)*3**28
+c(30,2)*c(2,1)*3**28+c(30,1)*3**29]
+ 6*[c(30,3)*c(3,2)*3**27]
(d) #(A∩B∩C∩D)
= c(30,8)*c(8,2)*c(6,2)*c(4,2)*2**22+c(30,4)*c(4,1)*c(3,1)*c(2,1)*2**26+2**30
+ 4*[ c(30,7)*c(7,2)*c(5,2)*c(3,2)*2**23+c(30,6)*c(6,2)*c(4,2)*2**24
+c(30,5)*c(5,2)*c(3,1)*c(2,1)*2**25+c(30,2)*2**28
+c(30,3)*c(3,1)*c(2,1)*2**27+c(30,1)*2**29]
+ 6*[ c(30,6)*c(6,2)*c(4,2)*c(2,1)*2**24+c(30,4)*c(4,2)*2**26
+c(30,2)*c(2,1)*2**28]
+ 12*[ c(30,5)*c(5,2)*c(3,2)*2**25+c(30,4)*c(4,2)*c(2,1)*2**26
+c(30,3)*c(3,2)*2**27]
(e) #(A∩B∩C∩D∩E)
= c(30,10)*c(10,2)*c(8,2)*c(6,2)*c(4,2)+c(30,5)*c(5,1)*c(4,1)*c(3,1)*c(2,1)+1
+ 5*[ c(30,9)*c(9,2)*c(7,2)*c(5,2)*c(3,2)+c(30,8)*c(8,2)*c(6,2)*c(4,2)
+c(30,6)*c(6,2)*c(4,1)*c(3,1)*c(2,1)+c(30,2)+c(30,4)*c(4,1)*c(3,1)*c(2,1)
+c(30,1)]
+ 10*[ c(30,8)*c(8,2)*c(6,2)*c(4,2)*c(2,1)+c(30,6)*c(6,2)*c(4,2)
+c(30,7)*c(7,2)*c(5,2)*c(3,1)*c(2,1)+c(30,4)*c(4,2)
+c(30,3)*c(3,1)*c(2,1)+c(30,2)*c(2,1)]
+ 20*[c(30,7)*c(7,2)*c(5,2)*c(3,2)+c(30,5)*c(5,2)*c(3,1)*c(2,1)+c(30,3)*c(3,2)]
+ 30*[c(30,6)*c(6,2)*c(4,2)*c(2,1)+c(30,5)*c(5,2)*c(3,2)+c(30,4)*c(4,2)*c(2,1)]
===========================================================================
最後一步了！藉由心算或是電腦計算即可得
#(A∪B∪C∪D∪E) = 100669423178347649484640
接著答案就是 [6^30-#(A∪B∪C∪D∪E)]/6^30
掐指一算 = 0.544634557955 (‧^ω^‧)
-------------------------------------------
說真的...按run的那瞬間好怕答案跟版友的程式解不一樣
我沒有勇氣回頭再check一次(╯°□°）╯ ~ /(_□_,,)\
--
: 大家好(‧^ω^‧)
: 剛剛狂日大大問了個 TOS-MATH 問題如題
: 正常關卡(非禁珠)下開黃泉洗珠，每一屬(不含心)都≧3顆的機率是？
答案：0.544634557955
---------------------------------------
原本認為手算就算捏爛LP也算不出來
不過在今天早上先捏一下下後，發現其實很多項可以couple在一起(‧^ω^‧)
接著再藉由計算網頁就得到許多網友跑程式的結果了
【問題】
假設全版洗盤後版面是平均分布六色珠(含自消盤面)，那五屬性各至少3顆以上機率是？
【答案】
分母 = 全部盤面 = 6^30 = 221073919720733357899776
分子 = 五屬性各至少3顆
= 全部盤面 - 至少有一屬≦2顆
= 221073919720733357899776 - 100669423178347649484640
= 120404496542385708415136
機率 = 分子/分母 = 0.544634557955
【證明】
令 S為所有盤面所成的集合
#(any set) := 此集合的元素個素
令 A 為水珠≦2顆的盤面所成的集合
A_1為水珠＝2顆的盤面所成的集合
A_2為水珠＝1顆的盤面所成的集合
A_3為水珠＝0顆的盤面所成的集合
則 A=A_1∪A_2∪A_3, 且三者互斥(兩兩交集為空集合)
同樣的令出 B(火), C(木), D(光), E(暗)
因此我們所求的"五屬珠至少有一屬≦2顆"
其實就是 #(A∪B∪C∪D∪E)
之後根據排容原理
#(A∪B∪C∪D∪E)
= Σ#(單一集合) - Σ#(兩兩交集) + Σ#(三三交集) - Σ#(四四交集) + Σ#(全交集)
接著觀察到A,B,C,D,E是對稱的
因此每個Σ內只要算一次，之後乘上交集可能方法數即可，具體如下：
(1) Σ#(單一集合) = C(5,1) * #(A)
(2) Σ#(兩兩交集) = C(5,2) * #(A∩B)
(3) Σ#(三三交集) = C(5,3) * #(A∩B∩C)
(4) Σ#(四四交集) = C(5,4) * #(A∩B∩C∩D)
(5) Σ#(全交集) = C(5,5) * #(A∩B∩C∩D∩E)
最後，就是分別計算以下項目：(" ** "代表次方" ^ ")
(a) #(A) = #(A_1) + #(A_2) + #(A_3)
= c(30,2)*5**28+c(30,1)*5**29+5**30
(b) #(A∩B) = #(A_1∩B_1) + #(A_1∩B_2) + #(A_1∩B_3)
+ #(A_2∩B_1) + #(A_2∩B_2) + #(A_2∩B_3)
+ #(A_3∩B_1) + #(A_3∩B_2) + #(A_3∩B_3)
= c(30,4)*c(4,2)*4**26+c(30,2)*c(2,1)*4**28+4**30
+ 2*[c(30,3)*c(3,2)*4**27+c(30,2)*4**28+c(30,1)*4**29]
【紅色部分也是簡化關鍵，因為淺藍那兩個項一樣、綠色一樣、紫色一樣】
(c) #(A∩B∩C)
= c(30,6)*c(6,2)*c(4,2)*3**24+c(30,3)*c(3,1)*c(2,1)*3**27+3**30
+ 3*[ c(30,5)*c(5,2)*c(3,2)*3**25+c(30,4)*c(4,2)*3**26+c(30,2)*3**28
+c(30,2)*c(2,1)*3**28+c(30,1)*3**29]
+ 6*[c(30,3)*c(3,2)*3**27]
(d) #(A∩B∩C∩D)
= c(30,8)*c(8,2)*c(6,2)*c(4,2)*2**22+c(30,4)*c(4,1)*c(3,1)*c(2,1)*2**26+2**30
+ 4*[ c(30,7)*c(7,2)*c(5,2)*c(3,2)*2**23+c(30,6)*c(6,2)*c(4,2)*2**24
+c(30,5)*c(5,2)*c(3,1)*c(2,1)*2**25+c(30,2)*2**28
+c(30,3)*c(3,1)*c(2,1)*2**27+c(30,1)*2**29]
+ 6*[ c(30,6)*c(6,2)*c(4,2)*c(2,1)*2**24+c(30,4)*c(4,2)*2**26
+c(30,2)*c(2,1)*2**28]
+ 12*[ c(30,5)*c(5,2)*c(3,2)*2**25+c(30,4)*c(4,2)*c(2,1)*2**26
+c(30,3)*c(3,2)*2**27]
(e) #(A∩B∩C∩D∩E)
= c(30,10)*c(10,2)*c(8,2)*c(6,2)*c(4,2)+c(30,5)*c(5,1)*c(4,1)*c(3,1)*c(2,1)+1
+ 5*[ c(30,9)*c(9,2)*c(7,2)*c(5,2)*c(3,2)+c(30,8)*c(8,2)*c(6,2)*c(4,2)
+c(30,6)*c(6,2)*c(4,1)*c(3,1)*c(2,1)+c(30,2)+c(30,4)*c(4,1)*c(3,1)*c(2,1)
+c(30,1)]
+ 10*[ c(30,8)*c(8,2)*c(6,2)*c(4,2)*c(2,1)+c(30,6)*c(6,2)*c(4,2)
+c(30,7)*c(7,2)*c(5,2)*c(3,1)*c(2,1)+c(30,4)*c(4,2)
+c(30,3)*c(3,1)*c(2,1)+c(30,2)*c(2,1)]
+ 20*[c(30,7)*c(7,2)*c(5,2)*c(3,2)+c(30,5)*c(5,2)*c(3,1)*c(2,1)+c(30,3)*c(3,2)]
+ 30*[c(30,6)*c(6,2)*c(4,2)*c(2,1)+c(30,5)*c(5,2)*c(3,2)+c(30,4)*c(4,2)*c(2,1)]
===========================================================================
最後一步了！藉由心算或是電腦計算即可得
#(A∪B∪C∪D∪E) = 100669423178347649484640
接著答案就是 [6^30-#(A∪B∪C∪D∪E)]/6^30
掐指一算 = 0.544634557955 (‧^ω^‧)
-------------------------------------------
說真的...按run的那瞬間好怕答案跟版友的程式解不一樣
我沒有勇氣回頭再check一次(╯°□°）╯ ~ /(_□_,,)\
--
All Comments