開黃泉後盤面五屬珠都>=3顆的機率 - 神魔之塔

※ 引述《znmkhxrw (QQ)》之銘言：
: 大家好(‧^ω^‧)
: 剛剛狂日大大問了個 TOS-MATH 問題如題
: 正常關卡(非禁珠)下開黃泉洗珠，每一屬(不含心)都≧3顆的機率是？

答案：0.544634557955
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原本認為手算就算捏爛LP也算不出來

不過在今天早上先捏一下下後，發現其實很多項可以couple在一起(‧^ω^‧)

接著再藉由計算網頁就得到許多網友跑程式的結果了

【問題】

假設全版洗盤後版面是平均分布六色珠(含自消盤面)，那五屬性各至少3顆以上機率是？

【答案】

分母 = 全部盤面 = 6^30 = 221073919720733357899776

分子 = 五屬性各至少3顆

= 全部盤面 - 至少有一屬≦2顆

= 221073919720733357899776 - 100669423178347649484640

= 120404496542385708415136

機率 = 分子/分母 = 0.544634557955

【證明】

令 S為所有盤面所成的集合
#(any set) := 此集合的元素個素

令 A 為水珠≦2顆的盤面所成的集合
A_1為水珠＝2顆的盤面所成的集合
A_2為水珠＝1顆的盤面所成的集合
A_3為水珠＝0顆的盤面所成的集合

則 A=A_1∪A_2∪A_3, 且三者互斥(兩兩交集為空集合)

同樣的令出 B(火), C(木), D(光), E(暗)

因此我們所求的"五屬珠至少有一屬≦2顆"

其實就是 #(A∪B∪C∪D∪E)

之後根據排容原理

#(A∪B∪C∪D∪E)

= Σ#(單一集合) - Σ#(兩兩交集) + Σ#(三三交集) - Σ#(四四交集) + Σ#(全交集)

接著觀察到A,B,C,D,E是對稱的

因此每個Σ內只要算一次，之後乘上交集可能方法數即可，具體如下：

(1) Σ#(單一集合) = C(5,1) * #(A)

(2) Σ#(兩兩交集) = C(5,2) * #(A∩B)

(3) Σ#(三三交集) = C(5,3) * #(A∩B∩C)

(4) Σ#(四四交集) = C(5,4) * #(A∩B∩C∩D)

(5) Σ#(全交集) = C(5,5) * #(A∩B∩C∩D∩E)

最後，就是分別計算以下項目：(" ** "代表次方" ^ ")

(a) #(A) = #(A_1) + #(A_2) + #(A_3)

= c(30,2)*5**28+c(30,1)*5**29+5**30

(b) #(A∩B) = #(A_1∩B_1) + #(A_1∩B_2) + #(A_1∩B_3)

+ #(A_2∩B_1) + #(A_2∩B_2) + #(A_2∩B_3)

+ #(A_3∩B_1) + #(A_3∩B_2) + #(A_3∩B_3)

= c(30,4)*c(4,2)*4**26+c(30,2)*c(2,1)*4**28+4**30

+ 2*[c(30,3)*c(3,2)*4**27+c(30,2)*4**28+c(30,1)*4**29]

【紅色部分也是簡化關鍵，因為淺藍那兩個項一樣、綠色一樣、紫色一樣】

(c) #(A∩B∩C)

= c(30,6)*c(6,2)*c(4,2)*3**24+c(30,3)*c(3,1)*c(2,1)*3**27+3**30

+ 3*[ c(30,5)*c(5,2)*c(3,2)*3**25+c(30,4)*c(4,2)*3**26+c(30,2)*3**28

+c(30,2)*c(2,1)*3**28+c(30,1)*3**29]

+ 6*[c(30,3)*c(3,2)*3**27]

(d) #(A∩B∩C∩D)

= c(30,8)*c(8,2)*c(6,2)*c(4,2)*2**22+c(30,4)*c(4,1)*c(3,1)*c(2,1)*2**26+2**30

+ 4*[ c(30,7)*c(7,2)*c(5,2)*c(3,2)*2**23+c(30,6)*c(6,2)*c(4,2)*2**24

+c(30,5)*c(5,2)*c(3,1)*c(2,1)*2**25+c(30,2)*2**28

+c(30,3)*c(3,1)*c(2,1)*2**27+c(30,1)*2**29]

+ 6*[ c(30,6)*c(6,2)*c(4,2)*c(2,1)*2**24+c(30,4)*c(4,2)*2**26

+c(30,2)*c(2,1)*2**28]

+ 12*[ c(30,5)*c(5,2)*c(3,2)*2**25+c(30,4)*c(4,2)*c(2,1)*2**26

+c(30,3)*c(3,2)*2**27]

(e) #(A∩B∩C∩D∩E)

= c(30,10)*c(10,2)*c(8,2)*c(6,2)*c(4,2)+c(30,5)*c(5,1)*c(4,1)*c(3,1)*c(2,1)+1

+ 5*[ c(30,9)*c(9,2)*c(7,2)*c(5,2)*c(3,2)+c(30,8)*c(8,2)*c(6,2)*c(4,2)

+c(30,6)*c(6,2)*c(4,1)*c(3,1)*c(2,1)+c(30,2)+c(30,4)*c(4,1)*c(3,1)*c(2,1)

+c(30,1)]

+ 10*[ c(30,8)*c(8,2)*c(6,2)*c(4,2)*c(2,1)+c(30,6)*c(6,2)*c(4,2)

+c(30,7)*c(7,2)*c(5,2)*c(3,1)*c(2,1)+c(30,4)*c(4,2)

+c(30,3)*c(3,1)*c(2,1)+c(30,2)*c(2,1)]

+ 20*[c(30,7)*c(7,2)*c(5,2)*c(3,2)+c(30,5)*c(5,2)*c(3,1)*c(2,1)+c(30,3)*c(3,2)]

+ 30*[c(30,6)*c(6,2)*c(4,2)*c(2,1)+c(30,5)*c(5,2)*c(3,2)+c(30,4)*c(4,2)*c(2,1)]

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最後一步了！藉由心算或是電腦計算即可得

#(A∪B∪C∪D∪E) = 100669423178347649484640

接著答案就是 [6^30-#(A∪B∪C∪D∪E)]/6^30

掐指一算 = 0.544634557955 (‧^ω^‧)

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說真的...按run的那瞬間好怕答案跟版友的程式解不一樣

我沒有勇氣回頭再check一次(╯°□°）╯ ~ /(_□_,,)\

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