重力火車 - 推理遊戲

※ 引述《Nick12101 (阿楷)》之銘言：
: 假設現有一火車
: 這火車可穿越地底，直達地球的另一端
: (請把技術問題與空氣磨擦力因素排除在外)
: 例如從台北到亞松森
: 請問要花多少時間呢(只運用地球重力當速度)
現在高中不知道還有沒有教簡諧運動 @@"...

回答這問題可以假設地球內部結構組成為均勻，

則 地球內部的重力加速度為

g2 = GMr/(R^3) , 其中 R 為地球半徑, r是距離球心的長度(變數), G為萬有引力常數

，上述重力 g2 可用三維積分證明。

另外，地球表面重力加速度 g = GM/(R^2) = 9.8m/(s^2)

因此 　g2 = 9.8r/R 　　m/(s^2)

故 g2 正比於 r ，所以跟彈簧運動一樣，是簡諧運動，所以從地表到中心的時間，

等於中心到另一端地表的時間；還有想到簡諧運動，就要聯想到 x(t) 會與三角函數有關

，這點先記起來。

假設從地表到中心半徑上某點的位移函數為 x(t)，則 x'(t) = v(t) (速度) ,

x''(t) = v'(t) = a(t) (加速度)

已知 g2 = 9.8r/R

故 a(t) = 9.8( R - x(t) )/R

即 x''(t) = 9.8 - 9.8/R*x(t)

x(t)該是什麼函式，才會讓上式成立？

答案會與三角函數有關，用 sin 或 cos 去驗算猜看看

會發現 x(t) = A cos(√(9.8/R)t) + R

但要讓 x(0) = 0,且 t 從 0 慢慢增加時 x(t) 為正值

所以 A = -R

故 x(t) = -R cos(√(9.8/R)t) + R

當 t 從 0 慢慢增加時 ，使得 x(t) = R 就是火車移到中心點的位移，

因此 cos(√(9.8/R)t) = 0

√(9.8/R)t = π/2 , R 用 6371000 公尺 代入

得 t = 1266.5 (秒)

2t/60 = 42.2 (分鐘)

故到達時間約 42.2 分鐘　 #

另外，

v(t) = x'(t) = R*√(9.8/R) sin(√(9.8/R)t)

故 火車移到中心的速度(也是最大速度)

v(1266.5) = R*√(9.8/R) = √(9.8R) = 7901.6 m/s

此速度沒達光速，不用考慮相對論問題...

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