選課問題 - 拼圖

※ 引述《arist ( 在他方 )》之銘言：
: 前陣子我再加簽羽球課時，發覺有個現象。
: 就是 A , B 一對閃光想一起修課，
: 所以 A, B 就會說除非兩人都抽中，不然她們就都不修課。
: 因此，對於這種情況，她們抽中的機率就會大幅降低。
: 而且只有一人抽中時，放棄名額也會造成名額的浪費。
: 有辦法設計一個抽籤方式當有兩人想要一起修課時，
: 她們抽籤的機率會和其他人一樣。
: 最基本的想法是她們兩人就抽一個簽，
: 可是這會造成中籤人數可能會超過預定人數。
: 因此問題如下：
: 若同時有很多對閃光要一起加入抽籤時，且允許中籤人數在 1人的的誤差下，
: 會有什麼公平的抽籤方式呢？(抽籤次數是越少越好。)

我的想法

就讓AB抽一個籤(第一個抽) 抽中=> 箱子裡再拿出一張中的籤
沒抽中 箱子裡再拿出張沒中的籤



但這要在其他上課所有人都同意的情況下(如果他們都懂以下的解釋)


一般抽籤情形下

若要抽的人有N個 籤有K個(K>1)

每個人的期望值是 K/N 兩個人合計的期望值是 K/N+K/N
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換成上面的抽籤方式 他們抽籤中的機率仍是 K/N 但中就有2個名額

=> 期望值 2*K/N

所以2種情況下 他們理應獲得的期望值都是不動的

所以對他們兩來說是公平的 且能同進退
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後面把籤拿出來 是要平衡後面抽的人理應獲得的期望值不動


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但 這樣的抽籤方式有些情況下不能推廣

原因 當有10對閃光 要抽籤 籤數有7個 共20人抽籤

若用輪流制一對對依上面方法抽

有可能

有一對抽的時候 裡面只剩下1個名額

他們抽到了 也沒辦法補成2張票

或是裡面只剩3張中獎1張不中獎 他抽到不中的 但是沒辦法拿出一張不中的來補

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如果照原PO說的 允許誤差在1個人之內 照這樣的步驟是可行的

當抽中 箱子裡卻已經沒有中獎 則2人通通有獎 剩下的人全部掰掰

當沒抽中 箱子裡卻都是中獎籤 2人通通落榜 剩下的人通通有獎
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